[面试题][总结]100层楼丢玻璃球测试临界可破层数，用两个一模一样的球来测试计算尽可能少的次数？

时间：2019-09-27 01:46:23 阅读：512 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

1 题目描述

　　有一栋100层高的大楼，给你两个完全相同的玻璃球。假设从某一层开始，丢下玻璃球会摔碎。那么怎么利用手中的两个球，用什么最优策略知道这个临界的层是第几层？

2 解法汇总

2.1 递推方法一

　　第一次扔k层，则次数time=1,第二次，如果破了，要试从1到k-1层，此时需要Time=time+k-1=k 次；如果没破，还要扔k层，则次数为time=2;如果破了，还要扔k+1到2k-1层，再加上2 即Time=Time+k-2=k。还是K次；注意每多扔一次少测试一层。次数却多一次。实际只要能测到n-1层就够了。

　　以此类推如果满足 k+（k-1）+（k-2）+（k-3）+（k-4）+....+2+1 >= n-1 。可以化简得到：k(k-1)>=2(n-1)

这里，n=100 所以解得k=14。所以只要14次就可以确认那层试临界层。

2.2 图形法

首先从题目得出基本思路

１．第一个球应该低到高试，但不是每层必；

２．不能有侥幸心理，第二个球在第一个球的区间里每层必。

技术图片

　　上图是简化为１０层楼解法。数字代表楼层，球从原点先右后上的路径对应的方格中的数字进行测试．也就是第一个球测试４＼７＼９＼１０层．如果第一个球４层坏了，第二个球测试１＼２＼３。如果第一个球７层坏了，第二个球测试５＼６。依次类推，肯定可以测出最终的层数。这样做摔４次肯定能得出结果，是最优的方案。

　　如果把上图的每一个层看作一个１＊１的正方形。上图就近似一个等腰梯形，面积为４＊４／２＋４＊０.５＝１０，也就是层数。推广开来，对于边长为Ｎ的图形，它所能测试的层数就是Ｎ＊Ｎ／２＋Ｎ＊０.５。对于Ｍ层楼，最优方案只是上图的类推。将１到Ｍ按照上图类同的方法排布，并按照先右后上的路径。这肯定是最优解。也就是Ｎ＊Ｎ／２＋Ｎ＊０．５〉＝Ｍ。这里只要取得Ｎ的最小正整数就是最多的尝试次数。比如100层的情况是：Ｎ＊Ｎ／２＋Ｎ＊０.５＞＝100。解得Ｎ的最小正整数解是１４。

　　从数学证明的角度来看：最优解是怎样的呢？问题已经可以转化为在坐标系的原点出发，只能先右后上的，在相同的面积下，哪一种图形的使得原点到该图形的任意一点的距离的最大值最小。结论是：在相同的面积中，直角等腰的三角形到达面上的任意一点的最大距离是最小的。直角等腰三角形的斜边上任意一点到达原点的距离都是一样的，也是直角等腰三角形中距离原点最大的。利用反证法，如果还有比直角等腰三角形更好的图形，必然要挖去斜边上所有的点，但是把这些点放在哪里呢？放在哪里都比现在的位置远。

2.3 动态规划

　　设f(a, b)为a个球做b次测试可以测试到的楼层数，可以确定的楼层数即为f(a, b) + 1，因为第1层不需测试，需要测试的楼层号仅仅为[2, f(a, b) + 1]共f(a, b)层，也就是a个球b次测试可以测试到的楼层数。考虑第1次测试，测试的楼层记为x：

1）如果球破了，就需要测试x下面的楼层，还剩下a-1个球b-1次测试，测试的楼层数为f(a - 1, b - 1)。

2）如果球没有破，那么需要测试x上面的楼层，还剩下a个球b-1次测试，测试的楼层数为f(a, b - 1)。

a个球b次测试为1）2）测试的楼层数及第1次测试了的1层，所以：

f(a, b) = f(a - 1, b - 1) + f(a, b - 1) + 1 （1）

考虑初始条件，显然f(a, 1) = 1（a >= 1，1次测试可以测试到的楼层数当然为1，不论多少个球），f(1, b) = b（b >= 1，1个球做了b次测试当然测试到了b层楼）。

强调一下：注意f(a, b)为测试到的楼层数，f(a, b)加上不需测试的楼层才是可以确定的楼层（f(a, b) + 1）。

一般来说，a >= 2（1个球意义不大），可以计算出f(2, 64) = 2080，f(3, 64) = 43744，f(4, 64) = 679120。

  1 /* 
  2  * a balls, n floors, want to find the minimum number of floor 
  3  * where a ball drops will be broken. output the minimum number 
  4  * of drops 
  5  * METHOD: dynamic programming 
  6  * assum the answer is b, that is the number of drops 
  7  * f(a, b): the maximum number of floors, when a balls and b drops 
  8  * f(a, b) = 1 + f(a, b - 1) + f(a - 1, b - 1) 
  9  * obviously, f(a, 1) = 1; f(1, b) = b 
 10  */  
 11 #include <stdio.h>  
 12 #include <stdlib.h>  
 13 #include <assert.h>  
 14 #include <string.h>  
 15 #define DEBUG  
 16 #define MAX_B 64  
 17 #define MAX_A 16  
 18 #define f(a, b) ff[a - 1][b - 1]  
 19 static unsigned int a, n;  
 20 static unsigned long long ff[MAX_A][MAX_B];  
 21 static void init()  
 22 {  
 23     int i;  
 24     memset(ff, 0, sizeof(ff));  
 25     /*f(a, 1) = 1*/  
 26     for (i = 1; i <= MAX_A; i++){  
 27         f(i, 1) = 1;  
 28     }  
 29     /*f(1, b) = b + 1*/  
 30     for (i = 1; i <= MAX_B; i++){  
 31         f(1, i) = i;  
 32     }  
 33 }  
 34 static unsigned long long do_find_min_drops(int i, int j)  
 35 {  
 36     if (f(i, j))  
 37         return f(i, j);  
 38     f(i, j) = do_find_min_drops(i - 1, j - 1) +   
 39         do_find_min_drops(i, j - 1) + 1;  
 40     return f(i, j);  
 41 }  
 42 static void do_print_drops(int i, int j, unsigned long long min,   
 43         unsigned long long max)  
 44 {  
 45     if (min > max)  
 46         return;  
 47     if (1 == i){  
 48         assert(j == max - min + 1);  
 49         for (i = min; i <= max; i++){  
 50             printf("%5d", i);  
 51         }  
 52         printf("/n");  
 53         printf("*************/n");  
 54         return;  
 55     }  
 56     if (1 == j){  
 57         assert(min == max);  
 58         printf("%5lld/n", max);  
 59         printf("*************/n");  
 60         return;  
 61     }  
 62     printf("%5lld", min + f(i - 1, j - 1));  
 63     do_print_drops(i - 1, j - 1, min, min + f(i - 1, j - 1) - 1);  
 64     do_print_drops(i, j - 1, min + f(i - 1, j - 1) + 1, max);  
 65 }  
 66 static void print_drops(int ans)  
 67 {  
 68     do_print_drops(a, ans, 2, n);/*[2..n]*/   
 69 }  
 70 static void find_min_drops()  
 71 {  
 72     /*NOTE: number of floors are [1, n]*/  
 73     int i, j, m;          
 74     int ans;  
 75 #if 0//def DEBUG  
 76     for (i = 2; i <= MAX_A; i++){  
 77         for (j = 2; j <= MAX_B; j++){  
 78             printf("f(%d, %d) = %lld/n", i, j, do_find_min_drops(i, j));  
 79         }  
 80         printf("****************/n");  
 81     }  
 82 #endif  
 83     i = 1;   
 84     j = MAX_B;  
 85     while (i <= j){  
 86         m = (i + j) / 2;  
 87         if (do_find_min_drops(a, m) + 1 < n)  
 88         /* 
 89          * why +1? because the 1st floor need not to test 
 90          */  
 91             i = m + 1;  
 92         else  
 93             j = m - 1;  
 94     }  
 95     ans = i;  
 96     if (ans > MAX_B){  
 97         printf("the number of the maximum drops(MAX_B = %d) is too small/n", MAX_B);  
 98         printf("maximum floors "   
 99                 "can be tested is f(%d, %d) + 1 = %lld + 1. STOP/n", a, MAX_B, f(a, MAX_B));  
100         exit(0);  
101     }  
102     printf("the minimum drops: %d/n", ans);  
103     print_drops(ans);  
104 #ifdef DEBUG  
105     for (i = 1; i <= a; i++){  
106         for (j = 1; j <= ans; j++){  
107             printf("f(%d, %d) = %lld/n", i, j, f(i, j));  
108         }  
109         printf("****************/n");  
110     }  
111 #endif  
112 }  
113 int main(int argc, char **argv)  
114 {  
115     if (3 != argc){  
116         fprintf(stderr, "usage: %s a n/n", argv[0]);  
117         exit(-1);  
118     }  
119       
120     a = atoi(argv[1]);  
121     n = atoi(argv[2]);  
122     printf("a = %d/tn = %d/n", a, n);  
123     assert(a > 0 && a < MAX_A && n > 0);  
124     init();  
125     find_min_drops(); /*drops: 1*/  
126     return 0;  
127 }

View Code

1）2个球，100层楼时，可以计算出

f(2, 13) = 91
f(2, 14) = 105