数学概念的演变

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前言

函数概念：

函数的概念有两个，其一为初中的定义，称为传统定义，其二为高中的定义，称为近代定义。

传统定义：设在某变化过程中有两个变量\(x\)、\(y\)，如果对于\(x\)在某一范围内的每一个确定的值，\(y\)都有唯一确定的值与它对应，那么就称\(y\)是\(x\)的函数，\(x\)叫做自变量。我们将自变量\(x\)取值的集合叫做函数的定义域，和自变量\(x\)对应的\(y\)的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

近代定义：设\(A\)，\(B\)都是非空的数集，\(f：x→y\)是从\(A\)到\(B\)的一个对应法则，那么从\(A\)到\(B\)的映射\(f：A→B\)就叫做函数，记作\(y=f(x)\)，其中\(x∈A\)，\(y∈B\)，原象集合\(A\)叫做函数\(f(x)\)的定义域，象集合\(C\)叫做函数\(f(x)\)的值域，显然有\(C\subseteq B\)。

• 对函数概念的理解

函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

• 为什么要做这样的安排？

就高中的教学实践来看，高中阶段的学生接受映射这个抽象的数学概念都难度很大，更不用说初中学生了，故初中一般安排用传统定义来刻画函数，从运动变化的观点定义函数，便于学生理解和接受；随着学生的认知程度的提高，阅历的增加，接触函数的增多，用传统定义刻画的函数定义越来越不好解释函数的概念，比如迪利克雷函数，\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{1，x\in Q}\\{0，x\not\in Q，}\end{array}\right.\) 她本质的体现是一种对应，而不是运动变化过程。故需要对函数的定义做出调整；

同时还需要注意到，使用函数的近代定义来刻画函数，她还需要能向下兼容传统定义。这一点是满足的。故高中阶段采用先定义对应，然后在对应的概念基础上再定义映射，最后以映射为基础定义函数。

角的概念

• 初中定义：[静态定义]由公共端点的两条射线组成的图形，成为角。由此定义很容易理解其刻画的角的最大范围为\(\theta\in [0^{\circ}，360^{\circ}]\)。

如下图所示，

但是，在日常生活中，我们经常会拧开水瓶盖子，顺时针几圈或者逆时针几圈，显然这时候静态角的范围已经不够用了，需要调整，这时候就需要动态角的概念粉墨登场了。

• 高中定义：[动态定义]将一条射线的端点放置在直角坐标的原点位置，射线和\(x\)轴的非负半轴重合，此时如果逆时针旋转就形成了正角，范围可以拓展到\((0，+\infty)\)；如果顺时针旋转就形成了负角，范围可以拓展到\((-\infty，0)\)；如果不做选择就形成零角；这样采用动态定义，就能很容易将角的范围扩充到\((-\infty，+\infty)\)；

而且这种定义方式也是能兼容角的静态定义的。

三角函数的概念

• 初中定义：同样由于受学生的认知能力和角的范围的限制，只是在\(Rt\triangle\)中定义，\(sin\theta=\cfrac{对边}{斜边}\)，\(cos\theta=\cfrac{邻边}{斜边}\)；这种定义的缺陷是三角函数的自变量\(\theta\)的范围只能是\([0^{\circ}，90^{\circ}]\)。

而高中的角的范围已经扩充到了\((-\infty，+\infty)\)，显然上述的初中定义已经不能用了，需要更新，应该怎么更新呢？

• 高中定义：将角放置到平面直角坐标系中，初始边放置到\(x\)轴的非负半轴上，终边随其落在某个象限或者坐标轴上，然后在终边上任取一点(不是原点)\(P(x，y)\)，则\(r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}\)，则\(sin\theta=\cfrac{y}{r}\)，\(cos\theta=\cfrac{x}{r}\)，\(tan\theta=\cfrac{y}{x}\)，

很显然，这种定义方式可以刻画\((-\infty，+\infty)\)范围内的任意一个角的三角函数，而且兼容范围\([0^{\circ}，90^{\circ}]\)，也就是说高中的三角函数的定义同样能解释初中的三角函数的定义，体现了数学概念发展的扬弃。

数学概念的演变

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