Jump Test

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  We consoder a function
  \[ f_x=\frac{1}{\varepsilon^2 +(x-x_0)^2} \]
  Integrate of this function is
  \[ f=-\frac{1}{\varepsilon}arctan( \frac{x_0-x}{\varepsilon}) \]
  A good idear for tcest Jang‘s equation is : choice a very small number \(\delta\)
  \[ \begin{align} \delta f &= -\frac{\delta}{\varepsilon}arctan( \frac{x_0-x}{\varepsilon}) \\delta \varepsilon f &=-\delta arctran( \frac{x_0-x}{\varepsilon} ) \end{align} \]
  
  接着要讨边界条件的设置问题：
  对于内侧的 \(\displaystyle \frac{f_x }{ \sqrt{ 1+f_x ^2}}\) 的边界，使用的是 Newmann 边界， 给出的 $\displaystyle \phi^{-2} f_x=\frac{1}{\varepsilon^2 +(x-x_0)^2} $,
  所以Newmann 边界条件是这样给出来的
  \[ f_x= \frac{1}{\varepsilon^2 +(x-x_0)^2} \phi^2 \]
  对于外侧的，使用的 Dirichlet 边界条件，
  \[ \begin{align} \kappa(r)&=\frac{\frac{f_r}{\phi ^2} }{\sqrt{\frac{f_r^2}{\phi ^4}+1}}\ H(r)&=-\frac{1}{r^2 \phi^6 }( r^2 \phi^4 \frac{\frac{f_r}{\phi ^2} }{\sqrt{\frac{f_r^2}{\phi ^4}+1}})_{,r}\ &= -\frac{1}{r^2 \phi^6 }( r^2\phi^4\kappa(r))_{,r} \ \end{align} \]

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原文地址：https://www.cnblogs.com/yuewen-chen/p/11602492.html