9.28 排列最小值

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题意

对于一个长度为\(n\)的排列\(a\)，我们设变量\(tmp\)初始为\(n+1\)，从\(1\)到\(n\)枚举，如果\(tmp>a_i\)，则令\(tmp=a_i\)

定义一个排列的价值为\(tmp\)改变的次数的平方

求长为\(n\)的所有排列的价值之和，取模\(998244353\)

解法

这题被全场爆切。。然而我没想出来

考虑递推的解法：

设\(g[i]\)为长度为\(i\)的排列中\(tmp\)改变次数之和

设\(f[i]\)为长度为\(i\)的排列中\(tmp\)改变次数的平方和

考虑从长度为\(1\)的排列开始逐个向里面添加元素，\(f\)数组与\(g\)数组的改变量

首先更新\(g\)数组

我们可以发现，由于当前添加的元素是整个排列中最大的，所以它一定要放在开头才有贡献，如果放在原来的排列之中，由于\(tmp\)的第一次改变一定在第一个元素处，而当前元素又一定比第一个元素大，所以\(tmp\)永远不会再当前元素的位置发生改变

因此，若当前元素插入原排列内部，答案是不会改变的。而元素的插入位置不同，得到的新排列也不同，所以\(g[i]\)首先累加上\(g[i-1]\times (i-1)\)

若当前元素放在开头的位置，则原来所有的排列的答案在其基础上会加一。一共有\((i-1)!\)个排列，所以答案要增加\((i-1)!\)。因此
\[ g[i]=g[i-1]\times(i-1)+g[i-1]+(i-1)!=g[i-1]\times i+(i-1)! \]
有了\(g\)数组以后，相应的\(f\)就比较好推了（把平方式拆开）
\[ f[i]=2\times g[i-1]+i\times f[i-1]+(i-1)! \]

代码

代码没什么好贴的

9.28 排列最小值

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原文地址：https://www.cnblogs.com/VeniVidiVici/p/11603473.html