线性筛1

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筛法

\(\huge\color{red}{线性筛素数}\)

保证每次只被自己最小的质因数筛到。。

void yych()
{
    for(int  i = 2; i <= maxn; i ++)
    {
        if(!vis[i]) prime[++tot] = i;
        for(int j = 1; j <= tot&&i * prime[j] <= maxn; j ++)
        {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j] == 0) break;
         }
}

\(\huge\color{red}{筛phi}\)

欧拉函数 \(phi(i)\) 为小于i 的正整数中与\(i\)互质的数的个数， 然后有公式

\(\phi(x) = x*(1-\dfrac{1}{p_1})*(1-\dfrac{1}{p_2})*...*(1-\dfrac{1}{p_k})\)

? 然后考虑怎么筛， 还是分三种情况

1.\(i\)是质数 则显然 \(\color{green}{phi(i) =(i-1)}\)

2.\(i\) 能整除质数\(p\), 则说明\(i\) 中含有\(p\) 这个质数， 则后面的质数不会改变，只是在本身上乘上\(p\);

\(\phi(i) = i*(1-\dfrac{1}{p_1})*(1-\dfrac{1}{p_2})*...*(1-\dfrac{1}{p_k})\)

\(\phi(i*p) = i*p*(1-\dfrac{1}{p_1})*(1-\dfrac{1}{p_2})*...*(1-\dfrac{1}{p_k})\)

So， \(\color{green}{phi(i*p) = phi(i)*p}\)

3.\(i\) 不能整除质数\(p\), 说明\(i\)中不含\(p\)这个因数, 也就是原来多乘了\(p*(1-\dfrac{1}{p})\) , 化简得\((p-1)\);

\(\phi(i) = i*(1-\dfrac{1}{p_1})*(1-\dfrac{1}{p_2})*...*(1-\dfrac{1}{p_k})\)

\(\phi(i*p) = i*p*(1-\dfrac{1}{p})*(1-\dfrac{1}{p_1})*(1-\dfrac{1}{p_2})*...*(1-\dfrac{1}{p_k})\)

? \(= i*(p-1)*(1-\dfrac{1}{p_1})*(1-\dfrac{1}{p_2})*...*(1-\dfrac{1}{p_k})\)

So, \(\color{green}{phi(i*p) = phi(i)*(p-1)}\);

void yych()
{
    phi[1] = 1;
    for(int  i = 2; i <= maxn; i ++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++tot] = i;
            phi[i] = (i-1);
        }
        for(int j = 1; j <= tot&&prime[j]*i <= maxn; j ++)
        {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j] == 0)
            {
                  phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}

\(\huge\color{red}{筛mu}\)

可以放心，和反演无关

根据莫比乌斯函数定义来筛：

根据唯一分解定理

\(i = p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*p_3^{k_3}...p_q^{k_q}\)

对于一个数\(i\), \[\mu(i)=\begin{cases} 1, &(i=1)\\0, & (\exists k, k>1)\\(-1)^q ,&(\forall k, k<=1) \end{cases} \]

? 1.则对于一个质数\(i\)， 显然

? \(\color{green}{\mu(i)=-1}\),

? 2.若\(i\)能整除\(p\), 则\(i\)中\(p\) 的原来指数至少为1， \(i*p\) 中\(p\)指数就一定大于1

? \(\color{green}{\mu(i*p)=0}\)

? 3.若\(i\)不能整除\(p\), 则\(i\)中原来没有\(p\) 这个质数， \(i*p\) 相当于多了一个质数， 则\(q+=1\), 奇变偶， 偶变奇。。。。

? \(\color{green}{\mu(i*p)=-\mu(i)}\)

void yych()
{
    mu[1] = 1;
    for(int  i = 2; i <= maxn; i ++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++tot] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1; j <= tot&&prime[j]*i <= maxn; j ++)
        {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j] == 0)
            {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else
               mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

线性筛1

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原文地址：https://www.cnblogs.com/spbv587/p/11610804.html