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7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 (Figure 1)
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5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5
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30题意:
在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径,使得
路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或
右下走。只需要求出这个最大和即可,不必给出具体路径。
三角形的行数大于1小于等于100,数字为 0 - 99
超级经典啊有木有,,理解动归必看啊有木有。。。
解题思路:
用二维数组存放数字三角形。
D( r, j) : 第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)
MaxSum(r, j) : 从D(r,j)到底边的各条路径中,
最佳路径的数字之和。
问题:求 MaxSum(1,1)
典型的递归问题。
D(r, j)出发,下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形:
if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r+1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)
数字三角形的递归程序:
#include <iostream> #include <algorithm> #define MAX 101 using namespace std; int D[MAX][MAX]; int n; int MaxSum(int i, int j){ if(i==n) return D[i][j]; int x = MaxSum(i+1,j); int y = MaxSum(i+1,j+1); return max(x,y)+D[i][j]; } int main(){ int i,j; cin >> n; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) cin >> D[i][j]; cout << MaxSum(1,1) << endl; }
比如:当我们在计算第三行长度时,因为8 1 0的产生都基于第四行的”7“这个位置,即的D[4][2],又在进行路径搜索时前面共有1*2*3条路径,这就会重复计算6*2次==12次。
考虑到如果能去除重复将会使得程序运行效率大大提高。那么具体怎么做呢???
如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来,下次用
到其值的时候直接取用,则可免去重复计算。那么
可以用O(n 2 )时间完成计算。因为三角形的数字总
数是 n(n+1)/2
数字三角形的记忆递归型动归程序:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 101 int D[MAX][MAX]; int n; int maxSum[MAX][MAX]; int MaxSum(int i, int j){ if( maxSum[i][j] != -1 ) return maxSum[i][j]; if(i==n) maxSum[i][j] = D[i][j]; else { int x = MaxSum(i+1,j); int y = MaxSum(i+1,j+1); maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j]; } return maxSum[i][j]; } int main(){ int i,j; cin >> n; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) { cin >> D[i][j]; maxSum[i][j] = -1; } cout << MaxSum(1,1) << endl; }
递推型动归程序:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 101 int D[MAX][MAX]; int n; int maxSum[MAX][MAX]; int main() { int i,j; cin >> n; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) cin >> D[i][j]; for( int i = 1;i <= n; ++ i ) maxSum[n][i] = D[n][i]; for( int i = n-1; i>= 1; --i ) for( int j = 1; j <= i; ++j ) maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j] cout << maxSum[1][1] << endl; }
没必要用二维maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j),只要从底层一行行向上
递推,那么只要一维数组maxSum[100]即可,即只要存储一行的MaxSum值就
可以。
想一下:具体情形是这样的,依次选取相邻两个中最大的再加上D[i][j],那么新得到的数值将存储到数组中并覆盖这个相邻数的前一个,每经过一次i循环,数组被覆盖的数值逐渐减少,知道第二行相加覆盖第一行也就是第一个数组D[1].你会发现,只有数组中的第n个数是没有改变的,,
看代码:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 101 int D[MAX][MAX]; int n; int maxSum[MAX]; int max(int a,int b) {return a>b?a:b;} int main() { int i,j; cin >> n; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) cin >> D[i][j]; for(i = 1;i <= n; ++ i ) maxSum[i] = D[n][i]; for(i = n-1; i>= 1; --i ) for(j = 1; j <= i; ++j ) maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j]; cout << maxSum[1] << endl; return 0; }
看代码:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 101 int D[MAX][MAX]; int n; int * maxSum; int main(){ int i,j; cin >> n; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) cin >> D[i][j]; maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行 for( int i = n-1; i>= 1; --i ) for( int j = 1; j <= i; ++j ) maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j]; cout << maxSum[1] << endl; }
2. 确定状态
在用动态规划解题时,我们往往将和子问题相
关的各个变量的一组取值,称之为一个“状
态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题,
所谓某个“状态”下的“值”,就是这个“状
态”所对应的子问题的解。
2. 确定状态
所有“状态”的集合,构成问题的“状态空间”。“状态
空间”的大小,与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。
在数字三角形的例子里,一共有N×(N+1)/2个数字,所以这个
问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需
时间。
在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次,且在每个
状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。
2. 确定状态
用动态规划解题,经常碰到的情况是,K个整型变量能
构成一个状态(如数字三角形中的行号和列号这两个变量
构成“状态”)。如果这K个整型变量的取值范围分别是
N1, N2, ……Nk,那么,我们就可以用一个K维的数组
array[N1] [N2]……[Nk]来存储各个状态的“值”。这个
“值”未必就是一个整数或浮点数,可能是需要一个结构
才能表示的,那么array就可以是一个结构数组。一个
“状态”下的“值”通常会是一个或多个子问题的解。
3. 确定一些初始状态(边界状态)的值
以“数字三角形”为例,初始状态就是底边数字,值
就是底边数字值。
4. 确定状态转移方程
定义出什么是“状态”,以及在该 “状态”下的“值”后,就要
找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的
“状态”,求出另一个“状态”的“值”(“人人为我”递推型)。状
态的迁移可以用递推公式表示,此递推公式也可被称作“状态转移方
程”。
数字三角形的状态转移方程:
能用动规解决的问题的特点
1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的
子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结
构性质。
2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定,则此后过程
的演变就只和这若干个状态的值有关,和之前是采取哪
种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态,没
有关系。
POJ 1163 The Triangle(经典问题教你彻底理解动归思想)
原文地址:http://blog.csdn.net/u014492609/article/details/40510505