9.31 取数理论

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题意

定义对一个长度为\(N\)的整数序列的\(\{a_i\}\)的操作为：选择序列最左\(/\)最右边的元素并删掉它

\(A\)和\(B\)轮流对序列\(N\)进行操作，由\(A\)先手。当只剩下一个元素\(x\)时，游戏结束。我们定义这次游戏的输出为\(x\)。\(A\)想让输出尽可能大，而\(B\)想让它尽可能小

在游戏开始之前，\(A\)有恰好\(K\)次机会对这个序列进行操作，得到一个对自己更有利的局面

当\(A\)与\(B\)都按照最优策略玩游戏时，游戏的输出值会是多少

对于每一个\(K=0\to N-1\)，计算答案

解法

JackAndRose的升级版

具体证明和那道题几乎一模一样

主要的难点在于对\(K=0\to N-1\)每一种情况都计算对应的答案

我们可以发现，一段区间的答案只与它的中心点和邻近点的取值有关（奇偶也有不同）

于是，分奇偶处理出每个中心点的答案

观察到随着区间长度的延伸，区间的中心集合是不断向两边扩展的

这启发我们利用之前求得的信息来统计新的答案

利用重复信息分奇偶转移，复杂度可以做到\(O(N)\)

代码

（由于分了子任务，所以代码有点臃肿）

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int N, K;

int a[200100];

namespace sub1 {

int f[2010][2010][2];

int calc(int k) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= k; ++i)
        res = max(res, f[1 + i][N - k + i][0]);
    return res; 
}

void solve() {
    for (int i = 1; i <= N; ++i)  f[i][i][0] = f[i][i][1] = a[i];
    for (int i = 2; i <= N; ++i)
        for (int j = 1; j + i - 1 <= N; ++j) {
            int l = j, r = j + i - 1;
            f[l][r][0] = max(f[l + 1][r][1], f[l][r - 1][1]),
            f[l][r][1] = min(f[l + 1][r][0], f[l][r - 1][0]);
        }
    
    if (K != -1)
        printf("%d\n", calc(K));
    else {
        for (int i = 0; i < N; ++i)  
            printf("%d%c", calc(i), " \n"[i == N - 1]); 
    }
}

}

namespace sub2 {

int f[200100], g[200100], ans[200100];

void solve() {
    
    f[1] = a[1], f[N] = a[N];
    for (int i = 2; i < N; ++i) {
        int tmp = max(a[i - 1], max(a[i], a[i + 1]));
        if (a[i] == tmp)
            f[i] = max(a[i - 1], a[i + 1]);
        else
            f[i] = a[i];    
    }
    
    for (int i = 1; i < N; ++i)
        g[i] = max(a[i], a[i + 1]);
    
    if (N & 1) { 
    
        int l = (N + 1) / 2, r = (N + 1) / 2, sum = f[l];
        ans[0] = sum;
    
        for (int i = 2; i < N; i += 2) {
            l--, r++;
            sum = max(sum, max(f[l], f[r]));    
            ans[i] = sum;
        } 
    
        l = N / 2, r = N / 2 + 1, sum = 0;
        for (int i = 1; i < N; i += 2) {
            sum = max(sum, max(g[l], g[r]));
            l--, r++;
            ans[i] = sum;
        }
    } else {
        
        int l = N / 2, r = N / 2, sum = g[l];
        ans[0] = sum;
                
        for (int i = 2; i < N; i += 2) {
            l--, r++;
            sum = max(sum, max(g[l], g[r]));
            ans[i] = sum;
        }
        
        l = N / 2, r = N / 2 + 1, sum = 0;
        for (int i = 1; i < N; i += 2) {
            sum = max(sum, max(f[l], f[r]));
            l--, r++;
            ans[i] = sum;   
        }
    }
    
    ans[N - 1] = *max_element(a + 1, a + N + 1);
    
    if (K == -1)
        for (int i = 0; i < N; ++i)  printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == N - 1]); 
    else
        printf("%d\n", ans[K]);
    
}
}

int main() {
    
//  freopen("game.in", "r", stdin);
//  freopen("game.out", "w", stdout);
    
    scanf("%d%d", &N, &K);
    
    for (int i = 1; i <= N; ++i)  scanf("%d", a + i);
    
    if (N <= 2000) 
        sub1::solve();
    else
        sub2::solve();
    
    return 0;
}

9.31 取数理论

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