noip复习之数学（3）——数论

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1.基本概念和常用代码

（1）素数（质数）

int prime[maxn],tot=0;
bool vis[maxn];
void init(int n)
{
    vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!vis[i]) prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=n;++j)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;//每个数都只会被它最小的素数因子筛掉
        }
    }
}//线性筛素数

（2）欧几里得算法（辗转相除法）

#define ll long long
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得算法

int exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return d=a;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}//可用于求ax+by=d的一组解，当且仅当d=gcd(a,b)时有解（若要通过此特解推出其他解，每次x减小b/d，y增加a/d即可）

? 扩展欧几里得可以求逆元（逆元或许可以理解为在模意义下的倒数）

若要求a在模b意义下的逆元，首先a在模b意义下有逆元的前提条件是gcd(a,b)=1，即a和b互质，我们假设a在模b意义下的逆元为x，则ax在模b时同余于1，即可得ax+by=1（应是ax=by+1，移项后就变为了ax-by=1，我们令b=-b，则ax+by=1)

（3）快速幂

#define LL long long
LL pow_mod(LL a,LL b,int mod)
{
    LL ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=(ans*a)%mod;
        }
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
}

（4）欧拉函数（不超过自己并与自己互质的数的个数）

\[ \varphi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots(1-\frac{1}{p_k}) \]

证明：

给出正整数n的唯一分解式
\[ n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\cdots p_k^{a_k} \]
用容斥原理，首先从总数n中减去p1,p2,p3...pk的倍数的个数（pi都是素数，故不是其倍数即为与其互质），即n-n/p1-n/p2...-n/pk（设pi最大的满足小于等于n的倍数为pi*t，故求得t为n/pi），然后加上“同时是两个数的倍数的数，再减去同时是三个数的倍数的数，...，最后得到的公式即为：
\[ \varphi(n)=\sum_{S\subseteq p_1,p_2,...p_k}(-1)^{|s|}\frac{n}{\prod_{p_i\epsilon S}}p_i \]

int phi[maxn];
void init(int n)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        phi[i]=i;
    }
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(phi[i]==i)
        {
            for(int j=i;j<=n;j+=i)
            {
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}//筛表法求欧拉函数

（5）剩余系，模乘法的逆

通俗的说，模n的完全剩余系就是{0，1，2，... ，n-1}，而简化剩余系（也称缩系）就是完全剩余系中与n互素的那些数。

模n的完全剩余系最常见的写法是Z/nZ，也可以写成：
\[ Z/n或者Z_n \]
，缩系记为
\[ Z_n^* \]

#define LL long long
LL inv(LL a,LL mod)
{
    LL d,x,y;
    return exgcd(a,mod,d,x,y)==1?(x+mod)%mod:-1;
}//模乘法的逆

求逆的另一方法是利用欧拉定理

给定任意的整数n>1，对于n的缩系中的任意一个元素a,
\[ a^{\varphi(n)}\equiv1(mod\quad n) \]
因此a的逆元就是
\[ a^{\varphi(n)-1}mod\quad n \]
如果n是素数，则
\[ \varphi(n)=n-1 \]
所以a的逆就是pow_mod(a,n-2,n)

2.模方程

（1）线性模方程

\[ ax\equiv b(mod\quad n) \]

把它转化为ax-ny=b，当d=gcd(a,n)不是b的约数时无解，否则两边同时除以d，得到a‘x-n‘y=b‘,a‘=a/d,n‘=n/d,b‘=b/d，即为
\[ a'x\equiv b'(mod\quad n') \]
此时a‘和n‘已经互素，因此再左乘a‘在模n‘意义下的逆元，则解为：
\[ x\equiv (a')^{-1}b'(mod\quad n') \]
这个解是模n‘剩余系中的一个元素，但我们还需要把它表示为模n剩余系中的元素。令(a‘)^-1 b‘=p,上述解相当于x=p,x=p+n‘,x=p+2n‘,x=p+3n‘,...。对于模n来说，假设p+in‘和p+jn‘同余，则(p+in‘)-(p+jn‘)=(i-j)n‘是n的倍数，因此，(i-j)是d（gcd(a,n)）的倍数。换句话说，再模n剩余系下，
\[ ax\equiv b(mod\quad n) \]
恰好有d个解，为p,p+n‘,p+2n‘,p+3n‘,...,p+(d-1)n‘。

如果有多个方程，变量还是只有一个，又该怎么做呢？

那就用到了下面的定理

（2）中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)

假设有方程组
\[ x\equiv a_i(mod\quad m_i) \]
且所有的mi两两互素。令M为所有mi的乘积，wi=M/mi，则gcd(wi,mi)=1。

用扩展欧几里得算法可以找到pi和qi使得wi * pi+mi * qi=1。然后令ei=wi*pi，则方程组等价于单个方程
\[ x\equiv e_1a_1+e_2a_2+\cdots +e_na_n(mod\quad M) \]
，即在模M剩余系下，原方程组有唯一解。

证明：把等式wi pi+mi qi=1两边模mi后立即可得
\[ e_i\equiv 1(mod\quad m_i) \]
，而对于所有不等于i的j，wi是mj的倍数，因此
\[ e_i\equiv 0(mod\quad m_j) \]
，这样，x0对mi取模时，除了eiai这一项余数为1*ai=ai之外，其余项的余数均为0。

#define LL long long
LL crt(int n,int* a,int* m)
{
    LL M=1,d,x,y,x=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) M*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        LL w=M/m[i];
        exgcd(m[i],w,d,d,y);
        x=(x+y*w*a[i])%M;
    }
    return (x+M)%M;
}

（3）离散对数

为了简单起见，我们只考虑一种最简单的情况，即当n为素数时，解模方程
\[ a^x\equiv b(mod\quad n) \]
因为n是素数，只要a不为0，一定存在逆a^-1。根据欧拉定理，只需检查x=0,1,2,...,n-1是不是解即可。因为
\[ a^{n-1}\equiv 1(mod\quad n) \]
，当x超过n-1时a^x就开始循环了。

我们先检查前m（我们使m为n^(1/2)）项，即a^0,a^1,...,a^(m-1)模n的值是否为b，并把a^imodn保存在ei中，并求出a^m的逆a^(-m)。

下面考虑a^m,a^(m+1),...,a^(2m-1)。这次不用一一检查，因为如果它们中有解，则相当于存在i使得
\[ e_i*a^m\equiv b(mod\quad n) \]
，两边同乘a^(-m)得
\[ e_i\equiv b'(mod\quad n) \]
其中
\[ b'= a^{-m}b(mod\quad n) \]
这样只需检验，是否有这样的ei等于b‘即可。

若没有，再考虑a^2m,a^(2m+1),...,a^(3m-1)，故b‘‘=(a^(-2m)*b)mod n

，所以我们一直要按照这样的方法枚举到a^(m*m-1)

int pow_mod(int a,int b,int mod)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int log_mod(int a,int b,int n)
{
    int m,v,e=1;
    m=(int)sqrt(n+0.5);
    v=pow_mod(pow_mod(a,m,n),n-2,n);
    map<int,int> x;
    x[1]=0;
    for(int i=1;i<m;++i)
    {
        e=(e*a)%n;
        if(!x.count(e)) x[e]=i;
    }
    for(int i=0;i<m;++i)//考虑a^(im),a^(im+1),...,a^(im+m-1)
    {
        if(x.count(b)) return i*m+x[b];
        b=(b*v)%n;
    }
    return -1;
}//这就是可用于解决离散对数的大步小步算法（Baby_Step_Giant_Step Algorithm），复杂
//度O(n^(1/2)logn)

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