树的重心及直径

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树的重心

1. 定义：树的重心也叫树的质心。找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。
2. 性质

• 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个距离和，他们的距离和一样。
• 把两棵树通过一条边相连，新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
• 一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
• 一棵树最多有两个重心，且相邻。
  3.find树的重心
• 主要用DP思想
• root为重心，f[x]记录以x为根节点其子树的最大节点数，sum[x]记录以x为根节点其子树的所有节点数

 void getroot(int now,int fa)
{
    f[now]=0; sum[now]=1;
    for (int i=head[now]; i!=-1; i=e[i].nx)
        if (e[i].v!=fa)
        {
            getroot(e[i].v,now);
            sum[now]+=sum[e[i].v];
            f[now]=max(f[now],sum[e[i].v]);
        }
    f[now]=max(f[now],n-sum[now]);//此时以now为根节点，now的父节点为它的一个子树，n-sum[now]为now父节点的节点总数
    if (f[now]<ans) {ans=f[now]; root=now;}
    if (f[now]==ans&&now<root) root=now;
}

4.一道模板题：poj1655

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=20005;
int T,n,tot,root,ans,head[N],f[N],sum[N];
 struct ss
{
    int v,nx;
}e[N*2];

 void add(int u,int v)
{
    tot++; e[tot].v=v; e[tot].nx=head[u]; head[u]=tot;
}
 void getroot(int now,int fa)
{
    f[now]=0; sum[now]=1;
    for (int i=head[now]; i!=-1; i=e[i].nx)
        if (e[i].v!=fa)
        {
            getroot(e[i].v,now);
            sum[now]+=sum[e[i].v];
            f[now]=max(f[now],sum[e[i].v]);
        }
    f[now]=max(f[now],n-sum[now]);
    if (f[now]<ans) {ans=f[now]; root=now;}
    if (f[now]==ans&&now<root) root=now;
}

 int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        memset(head,-1,sizeof(head)); tot=0;
        memset(f,0,sizeof(f)); memset(sum,0,sizeof(sum));
        int u,v;
        scanf("%d",&n); 
        ans=0x3f3f3f3f;
        for (int i=1; i<n; i++)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v); add(v,u);
        }
        getroot(1,-1);
        printf("%d %d\n",root,f[root]);
    }
    return 0;
}

树的直径：树的最长简单路

• 任取一点BFS，找到最远点x后，从x开始BFS在找到另一个最远点y，x到y的距离为树的直径
• poj2631

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=20005;
int head[N],tot,d[N],q[N],ans,num;
bool flag[N];
 struct ss
{
    int v,w,nx;
}f[N];

 void add(int u,int v,int w)
{
    tot++; f[tot].v=v; f[tot].w=w; f[tot].nx=head[u]; head[u]=tot;
}
 int bfs(int s)
{
    memset(flag,0,sizeof(flag));
    flag[s]=1; d[s]=0; q[1]=s; ans=-1;
    int l=0,r=1; 
    while (l<r)
    {
        int x=q[++l];
        if (d[x]>ans) ans=d[x],num=x;
        for (int i=head[x]; i!=-1; i=f[i].nx)
            if (!flag[f[i].v])
            {
                flag[f[i].v]=true;
                d[f[i].v]=d[x]+f[i].w;
                q[++r]=f[i].v;      
            }
    }
    return num;
}

 int main()
{
    int u,v,w; tot=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    while (scanf("%d%d%d",&u,&v,&w)!=EOF) add(u,v,w),add(v,u,w);
    bfs(bfs(1));
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

树的重心及直径

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