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问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二（除以7余2），问物几何？
解法：
1：从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15。
2：用70乘2，21乘3，15乘2，相加得233。
3.用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23。这个余数23就是符合条件的最小数。
分析：
设x为满足除3余2的数，y为满足除5余3的数，z为满足除7余2的数
x能否使x+y仍满足除3余2，x+y+z仍满足？
由一个定理：如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c。
知道，如果y是3的倍数，则x+y满足除3余2，同理，z也是3的倍数，则x+y+z满足除3余2.
所以：
使x+y+z满足除3余2，y和z必须是3的倍数
使x+y+z满足除5余3，x和z必须是5的倍数
使x+y+z满足除7余2，x和y必须是7的倍数
最终解：
x除3余2，且是5和7的公倍数
y除5余3，且是3和7的公倍数
z除7余2，且是3和5的公倍数
本质：
从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数x，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数y，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数z，再将三个数相加得到解
求x、y、z时，例如求x，并非从5和7的公倍数中直接找一个除3余2的数，而是先找一个数除3余1，再乘2
（如果a%b=c,那么(a*k)%b=kc）
x+y+z并不是最小解，从中最大程度的减掉3，5，7的公倍数即可。
（m两两互质）
设M为m的乘积，Mi = M / mi
设ti = 1 / Mi
解：
x=（Σai*ti*Mi）mod M
void exgcd(int a1,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return ; } exgcd(b,a1%b,x,y); int t=x; x=y; y=t-(a1/b)*y; } int CRT(int a[],int m[],int n) { int M=1,ans=0,t,x,y; for(int i=0; i<n; i++) M*=m[i]; for(int i=0; i<n; i++) { t=M/m[i];///除了mi以外的n-1个整数乘积 exgcd(t,m[i],x,y);///求逆元，由扩展欧几里得转换成t*ti+m[i]*y=1来求ti ans=(ans+a[i]*x*t)%M; } return (ans+M)%M; }
扩展中国剩余定理
（m不互质）
ll res[maxn], A[maxn]; ll mul(ll a, ll b, ll mod) { ll res = 0; while (b > 0) { if (b & 1) res = (res + a) % mod; a = (a + a) % mod; b >>= 1; } return res; } ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } ll gcd = exgcd(b, a%b, x, y); ll tp = x; x = y; y = tp - a / b * y; return gcd; } ll excrt() { ll x, y, k; ll M = A[1], ans = res[1]; for (int i = 2; i <= n; ++i) { ll a = M, b = A[i], c = (res[i] - ans%b + b) % b; ll gcd = exgcd(a, b, x, y), tmp = b / gcd; if (c % gcd != 0) return -1; x = mul(x, c/gcd, tmp); ans += x * M; M *= tmp; ans = (ans%M + M) % M; } return (ans%M + M ) % M; }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/wronin/p/11617783.html
