欧拉函数

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令 \(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}\)

则\(\varphi(n)=N \times \prod_{prime_p|N}(1-\frac{1}{p})\)

关于欧拉函数：

①\(\forall n>1 ,\sum_{i=1,gcd(i,n)=1}^ni=\frac{n}{2} \times \varphi(n)\)

②\(gcd(a,b)=1,\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)

③若\(f(ab)=f(a) \times f(b)\),当\(n=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i}\),则\(f(n)=\prod_{i=1}^mf(p_i^{c_i})\)

④当\(p\)为质数时，且\(p|n,p^2|n\),则\(\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p}) \times p\)

⑤当\(p\)为质数时，且\(p|n,p^2!|n\),则\(\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p}) \times (p-1)\)

⑥\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)

# 证明：

①：
首先证明\(gcd(n,x)=gcd(n,n-x)(x<n)\)

设\(n=am,x=an\)(其中\(gcd(m,n)=1\))

则\(gcd(am,an)=a,gcd(am,am-an)=a\)

证毕。

所以\(x,x-n\)成对出现，顾所有的平均数为\(\frac {x+(x-n)}{2}=\frac{n}{2}\)
所以与\(n\)互质数的平均数也为\(\frac{n}{2}\)

证毕

②：将\(a,b\)分解质因数可得

欧拉函数

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原文地址：https://www.cnblogs.com/defense/p/11618519.html