标签:spl png src sum script 上下 面积 就是 lin
你有一个空心的 \(n\) 维超矩形,第 \(i\) 维坐标在 \([0,r_i]\) 内。现在你把矩形内所有满足 \(\sum\limits_{i=1}^n x_i\le S\) 的位置全部填满了液体,求液体的体积对 \(998244353\) 取模(如果是个分数就求逆元)。
subtask3:对于\(1\le i\le n\) 有 \(r_i=S\)
subtask4:\(1\le n,r_i\le 500,\space S\le 10^9\)
先手玩 subtask3 的特殊情况(不用考虑坐标范围限制)
二维情况下,答案就是红色区域面积,显然是 \(\frac{1}{2}\)
三维情况下,答案就是绿色线条与前右下角三条邻边围成的空间体积,根据小学知识可知是 \(\frac{1}{6}\)(可以用微积分证明)
所以可以猜测答案就是 \(\frac{S^n}{n!}\)。
那对于所有 \(r_i\le S\) 的情况,答案会不会就是 \(\frac{\prod_{i=1}^n r_i}{n!}\)?确实是的,可以用微积分证明……
然后考虑朴素情况。
像这种多重限制的问题,一般不容易直接求解,我们尝试求坐标不在范围内的情况数,然后从总方案数中减掉。
举个例子,\(n=2,\space r_1=1,\space r_2=4,\space S=2\)
我们钦定第 \(1\) 维坐标不满足条件,即 \(x_1\gt 1\)
我们发现一组方程 \[\begin{cases} x_1+x_2\le 2 \\ x_1\gt 1 \end{cases}\] 可以上下同时 \(-1\) 得到 \[\begin{cases} x_1+x_2\le 1 \\ x_1\gt 0 \end{cases}\]
我们本来就有 \(x_i\ge 0\),而在实数内随机意义下,随机到一个确定实数的概率可以认为是 \(0\),故等价于我们本来就有 \(x_i\gt 0\),即下面那个式子可以扔了。
然后问题又变成了求解上面那个式子,由于没有了坐标范围限制,直接用上一个 subtask 的结论解就行了……
容斥出的答案就是 $ans = \sum\limits_S (-1)^{|S|} (S-
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