每日一题_191006

标签：函数   因此   每日   不等式   等价   最小   line   ora   lin   

若\(\forall x\geqslant 1,x^{a+1}\mathrm{e}^x+a{\ln}x\geqslant 0\),则\(a\)的最小值为\(\underline{\qquad\qquad}\).

解析: 由题首先考察\(a<0\)的情形,设\(t=-a\),则\(t>0\),且题中不等式等价于\[ \forall x\geqslant 1,x\mathrm{e}^x\geqslant x^t{\ln}x^t.\]
构造函数\(F(x)=x\mathrm{e}^x\),显然\(F(x)\)在\([0,+\infty)\)单调递增,因此上述不等式等价于\[ F(x)\geqslant F\left({\ln}x^t\right).\]而\(x>0,{\ln}x^t\geqslant 0\).因此题中不等式等价于\[ \forall x\geqslant 1,x\geqslant {\ln}x^t=t{\ln}x.\]所以\[a=-t\geqslant -\mathrm{e}.\]

每日一题_191006

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Math521/p/11620631.html