标签：sum else play base 条件 不能 quic 吐槽 agent
吐槽：来自同机房巨佬的嘲讽——这道题这么简单，观察法显然可得通项公式
分析题面，原题意思如下：
从\(n\)个互不相同的数中取出某些数，将这些数分成两个集合\(A,B\)，这两个集合满足两个条件：
$ A\(集合中的最大的数小于\)B$集合中最小的数
$A,B \neq \emptyset $
求共有多少种分法(结果对 \(10^9+7\) 取模)
显然可以发现这题是一道组合数学的题，先手算 \(n \leq 10\) 的数据，在找规律推出公式。我给一下我的思路：
当 \(n=2\) 时，答案显然为1
当 \(n=3\) 时，设这些数为 \(a_1,a_2,a_3\) ,不妨设 \(a_1<a_2<a_3\)
当取3个数时，有以下分法：
\[A=\{a_1 \},B=\{a_2,a_3\}\]
\[A=\{a_1,a_2\},B=\{a_3\}\]
共 \(C^3_3 \times (3-1)=2\) 种
当取2个数时，有以下分法：
\[A=\{a_1\},B=\{a_2\}\]
\[A=\{a_1\},B=\{a_3\}\]
\[A=\{a_2\},B=\{a_3\}\]
共 \(C_3^2 \times (2-1)=3\) 种
综上，当 \(n=3\) 时，有 \(C^3_3 \times (3-1)+C_3^2 \times (2-1)=5\) 种分法。
当 \(n=4\) 时，设这些数为 \(a_1,a_2,a_3,a_4\) ,不妨设 \(a_1<a_2<a_3<a_4\)
当取4个数时，有以下分法：
\[A=\{a_1\},B=\{a_2,a_3,a_4\}\]
\[A=\{a_1,a_2\},B=\{a_3,a_4\}\]
\[A=\{a_1,a_2,a_3\},B=\{a_4\}\]
共 \(C^4_4 \times (4-1)=3\) 种
当取3个数时，有以下分法：
\[A=\{a_1\},B=\{a_2,a_3\}\]
\[A=\{a_1\},B=\{a_2,a_4\}\]
\[A=\{a_1\},B=\{a_3,a_4\}\]
\[A=\{a_2\},B=\{a_3,a_4\}\]
\[A=\{a_1,a_2\},B=\{a_3\}\]
\[A=\{a_1,a_2\},B=\{a_4\}\]
\[A=\{a_1,a_3\},B=\{a_4\}\]
\[A=\{a_2,a_3\},B=\{a_4\}\]
共 \(C^3_4 \times (3-1)=8\) 种
当取2个数时，有以下分法：
\[A=\{a_1\},B=\{a_2\}\]
\[A=\{a_1\},B=\{a_3\}\]
\[A=\{a_1\},B=\{a_4\}\]
\[A=\{a_2\},B=\{a_3\}\]
\[A=\{a_2\},B=\{a_4\}\]
\[A=\{a_3\},B=\{a_4\}\]
共 \(C^2_4 \times (2-1)=6\) 种
综上，当 \(n=4\) 时，有 \(C^4_4 \times (4-1)+C^3_4 \times (3-1)+C^2_4 \times (2-1)=17\) 种分法。
通过数学归纳（找规律），可得公式：
\[F(n)=\sum_{i=1}^{n-1}C^{i+1}_n \times i\]
具体实现的代码就不写了，其他dalao有写。
时间复杂度：\(O(n^2)\)
空间复杂度：\(O(n^2)\)
预计得分：40 points
考虑优化。
发现公式中的瓶颈在于如何快速处理组合数，于是开始推递推公式：
\[F(n+1)-F(n)\times2 =\sum_{i=1}^{n}C^{i+1}_{n+1} \times i-(\sum_{i=1}^{n-1}C^{i+1}_n \times i)\times2 =\sum_{i=1}^{n}C^{i}_{n+1}=2^{n}-1\]
故得：\(F(n+1)=F(n)\times 2+2^n-1\)
代码就不写了
时间复杂度：\(O(n)\)
空间复杂度：\(O(n)\)
预计得分：60 points
继续考虑优化。
已经写出递推公式的话有两种思路：1. 数学方法推通项公式；2. 矩阵快速幂加速递推公式。
方法一：数学方法推通项公式：
不会的详见必修五：数列递推求通项或询问数竞同学
最后推出来的通项公式为：\(F(n)=(n-2)*2^{n-1}+1\) （若此处实在不知道如何推出来的，可以看一看其他人的题解）
这里 \(2^{n-1}\) 用快速幂实现（注意，不能用 \(<<\) 来做，会爆 long long）
代码见code1
时间复杂度：\(O(\text{log}n)\)
空间复杂度：\(O(1)\)
预计得分：100 points
方法二：矩阵快速幂优化：
个人认为这个方法可能鲜有人能想到（太麻烦了），我就仔细讲一讲。
首先，观察递推公式中有如下几个影响值：\(F(n),2^n,-1\) ,故与单位矩阵相乘的矩阵为
\[\begin{bmatrix} F(n-1)\\ 2^{n-1}\\ 1\\ \end{bmatrix}\]
得到的矩阵为
\[\begin{bmatrix} F(n)\\ 2^{n}\\ 1\\ \end{bmatrix}\]
通过一顿乱搞（不会矩阵加速的可以做一做 P1939 【模板】矩阵加速（数列）和 P1962 斐波那契数列）,推出单位矩阵：
\[\begin{bmatrix} 2&1&-1\\ 0&2&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}\]
故矩阵递推式为：
\[\begin{bmatrix} F(n-1)\\ 2^{n-1}\\ 1\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2&1&-1\\ 0&2&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} F(n)\\ 2^{n}\\ 1\\ \end{bmatrix}\]
化为矩阵幂形式得：
\[\begin{bmatrix} F(2)\\ 2^2\\ 1\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2&1&-1\\ 0&2&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}^{n-2} =\begin{bmatrix} F(n)\\ 2^{n}\\ 1\\ \end{bmatrix}\]
套魔板即可。
代码见code2
时间复杂度：\(O(\text{log}n)\)
空间复杂度：\(O(1)\)
两种方法的优劣：
- 第一种方法难算，需要较好的数学基础，但最后实现时时间复杂度在 \(O(1)\) — \(O(\text{log}n)\) ,常数极小。
- 第二种方法是数列加速的常用方法，简单易想，但常数较大，本题为常数为27，即在大数据下比第一种方法慢2—3倍
Code1:
#include<bits/stdc++.h>
//#define file
#define modn (int)(1e9+7)
#define int long long
using namespace std;
int n;
inline int ksm(int x,int y,int p)
{
if(y==0) return 1%p;
if(y==1) return x%p;
int rst=ksm(x,y/2,p)%p;
if(y%2==0)
{
return rst*rst%p;
}else
{
int tmp=rst*rst%p;
return tmp*x%p;
}
}
signed main()
{
#ifdef file
freopen("Agent1.in","r",stdin);
freopen("Agent1.out","w",stdout);
//F(n)=\sum_{i=1}^{n-1}C^(i+1)_n*i
//F(n)=F(n-1)*2+2^{n-1}-1
#endif
scanf("%lld",&n);
int ans=(n-2)*ksm(2,n-1,modn)%modn+1;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
} Code2(本代码为我的教练所写，码风可能有些许不同):
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define mod 1000000007
int jz[3][3] = {{2,1,-1},{0,2,0},{0,0,1}},
jz1[3][3] = {{2,1,-1},{0,2,0},{0,0,1}};
int base[3][3];
void cheng()
{
memset(base,0,sizeof(base));
for(int i=0;i<3;i++)
{
for(int j=0;j<3;j++)
{
for(int k=0;k<3;k++)
{
base[i][j] += jz1[i][k]*jz1[k][j];
base[i][j] = (base[i][j]+mod)%mod;
}
}
}
memcpy(jz1,base,sizeof(base));
}
void chengjz()
{
memset(base,0,sizeof(base));
for(int i=0;i<3;i++)
{
for(int j=0;j<3;j++)
{
for(int k=0;k<3;k++)
{
base[i][j] += jz1[i][k]*jz[k][j];
base[i][j] = (base[i][j]+mod)%mod;
}
}
}
memcpy(jz1,base,sizeof(base));
}
void quickpow(int k)
{
if(k==1) return;
quickpow(k/2);
cheng();
if(k%2!=0) chengjz();
}
signed main()
{
int n;
cin>>n;
if(n==2)
{
printf("1");
return 0;
}
quickpow(n-2);
int ans = (jz1[0][0]+ 4*jz1[0][1]%mod + mod + 1*jz1[0][2]) mod;
cout<<ans;
return 0;
} 标签：sum else play base 条件 不能 quic 吐槽 agent
原文地址：https://www.cnblogs.com/nth-element/p/11623835.html
