国庆集训数论总结

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扩展欧几里得

int gcd(int x,int y)
{
    if(y==0)return x;
    return gcd(y,x%y);
}

void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y){
    int t;
    if(b==0) d=a,x=1,y=0;
    else{
        exgcd(b,a%b,d,x,y);
        t=x,x=y,y=t-(a/b)*y;
    }
}

合并同余方程组
\[ x\;mod\;a=k \x\;mod\;b=p \]

设\(x=s_1\times a+k=s_2\times b+p\)

移项得\(s_1\times a-s_2\times b=p-k\)

此时可将\(s_1,s_2\)看做求解方程\(ax+by=c\)的\(x,y\)，此时用扩展欧几里得求解通解：

\(x=s_1\times a + k\)

\(x=x_0\times a+k+K\times [a,b]\)

\(x\%[a,b]=x_0\times a+k\)

组合数

\(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\)杨辉三角\组合数递推式可以理解为一个DP转移

\(C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}\)因为取出的\(m\)个数共有\(m!\)种排列

逆元

求组合数通项公式时可用逆元前缀积\(C_n^m=fac[n]\times preinv[m]\times preinv[n-m]\)

欧拉函数

\(\phi(i)\)\(1\)到\(i\)中有多少数与\(i\)互质

对于质数\(p\)

• \(\phi(p)=p-1\)小于自己的都互质

• \(\phi(p^k)=(p-1)\times p^{k-1}\)

欧拉定理\(a^{\phi(n)}\equiv 1(mod\;n)\)

推论：\(x\equiv y(mod\;\phi(n))\)，则\(a^x\equiv a^y(mod\; n)\)

\(a\times a^{\phi(n)-1}\equiv 1(mod\;n)\)所以当\(n\)为质数时，\(a\)的逆元为\(a^{n-2}\)（同费马小定理）

求\(a^{b^{c}}mod\;n\)，利用推论将\(b^cmod\;\phi(n)\)再继续算

线性筛

\(\text{Miller_Rabin}\)算法\(O(log_n)\)判断是否为质数

埃氏筛复杂度\(n+n/2+n/3+\cdots+n/n=O(nlog_n)\)

线性筛

for(register int i=2;i<=n;++i){
    if(!notp[i]) p[cnt++]=i;
    for(int j=0;j<cnt;++j){
        if(i*p[j]>n) break;
        notp[i*p[j]]=1;
        if(i%p[j]==0) break; // 保证线性筛，每个数只会被其最小质因子筛掉
    }
}

另一种可同时求出最小质因数（MinP[]）的版本

for(int i=2;i<=n;++i){
    if(!MinP[i]) MinP[i]=i,prime[++tot]=i;
    for(int j=1;j<=tot;++j){
        if(i*prime[j]>n) break;
        MinP[i*prime[j]]=prime[j];
        if(i%prime[j]==0) break;
    }
}

积性函数

定义域为\(N^+\)，满足：

• \(f(1)=1\)
• 若\((a,b)=1\)，则\(f(a)\times f(b)=f(a\times b)\)

对\(x\)分解质因数\(x=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}\)

则\(f(x)=f(p_1^{k_1})\times f(p_2^{k_2})\cdots f(p_n^{k_n})\)

常见积性函数：

• \(Id(x)=x\)：单位函数
• \(Id_k(x)=x^k\)幂函数
• \(\phi\)欧拉函数
• 莫比乌斯函数
• 单元函数
• \(1(x)=1\)
• \(d(x)\)表示\(x\)的约数个数（分解质因数后选与不选\(k+1\)种情况）

求解

f[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++){
    int j=i/MinP[i];
    if(MinP[j]==MinP[i])w[i]=w[j];
    else w[i]=j;
    if(w[i]==1){
        // i为pk ，直接计算
    }
    else f[i]=f[w[i]]*f[i/w[i]];
}

狄利克卷积

运算符\(*\)

\(f*g=h,h(x)=\sum_{d|x}f(d)\times g(x/d)\)

满足交换律、结合律、加法分配率

定理：两个积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数

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