yzoj P2371 爬山 题解

标签：修改   const   顺序   答案   sort   数量级   string   can   遍历   

背景

其实 Kano 曾经到过由乃?，当然这名字?看?主就是 Yuno 嘛。当年 Kano 看见了由乃?，内?突然涌出了?股杜甫会当凌绝顶，?览众??的 豪?，于是毅然决定登?。但是 Kano 总是习惯性乱丢垃圾，增重环卫?? 的负担，Yuno 并不想让 Kano 登?，于是她果断在?上设置了结界……

题意

Yuno 为了?便登?者，在?上造了 N 个营地，编号从 0 开始。当结界发动时，每当第 $ i(> 0) $ 号营地内有?，那么他将被传送到第 $ A_i (< i) $ 号营 地，如此循环，所以显然最后只会被传送到第 0 号营地。

但 Kano 并不知晓结界的情况。他登?的?法是这样的：?先分?出?个编号为$ D_i $ 的 Kano，然后将其?投?机抛掷到营地 $ G_i $ 。Kano 总共做了 M 次这样的登?操作，但每次抛出去的 Kano 都被传送回了营地 0，所以 Kano 只好放弃了。

但是 Kano 在思考?个问题，到底每个营地被多少只编号不同的 Kano 经过过？

输入

第??两个整数 $ N,M，$ 表??的营地数和登?次数。

接下来 $ N ? 1 $ ?，每??个数，第 $ i $ ?为 $ A_i $ ，表?营地 i 将会传向营 地 $ A_i $ 。

接下来 $ M $ ?，每?两个数 $ G_i ，D_i $ 。

输出

共 $ N $ ?，每?表?营地 $ i $ 有多少不同编号的 Kano 曾经通过。

数据范围

$ N,M<=10^5, max(D_i) <=10^9 $

看完题考场临时打的暴力，才10分，同机房的大佬暴力90分。。。我菜爆惹

解析

算法一

开一个数组 $ a[i, j] \(表示第\) i $个点的第 $ j \(种标记是否被打过，每次询问可以\) O(total) \(回答，其中\) total $是标记数。

或使用一个计数器，每次有某个 $ a[i, j] $ 从 $ False $ 变 $ True $ 则 $ i $的计数器加1，询问可以做到O(1)。

每次修改暴力打标记。明显的，如果 $ max(D_i) $ 大于 $ M \(，则可以通过离散把数量级下降到\) M $。

时间复杂度$ O(NM)$，空间复杂度 $ O(Nmax(D_i)) $

算法二

由于每次修改影响到的仅是修改点的祖先，可以换一种储存方式，直接把标记打到点上。每次询问一个点只需要查询该点为根的子树下有多少不同的标记。

这样可以使用DFS序，对每种标记开一个树状数组，对每个标记，查询该子树下是否有标记

时间复杂度 $ O(M log(N)+N max(D_i)log(N)) $，空间复杂度 $ O(N max(D_i)) $

算法三

发现算法二没有必要使用树状数组维护，只需要每种标记分开处理，处理只需要简单地遍历整棵树

时间复杂度 $ O(N max(D_i)) $ , 空间复杂度 $ O(N)$.

算法四

首先我们仅考虑只有一种标记的情况，如果仅有一种标记，那么我们可以把被打标记的点进行+1操作，那么如果最后，一个点的子树和大于 $ 1 $，该点就是有标记的。

但是这样处理不了多种标记的数量，所以要把多余的 $ +1 $ 标记减去，而多余的 $ +1 $ 标记的形成是两个操作拥有公共祖先，所以在两个操作点的 $ LCA $ 处打上一个 $ -1 $ 标记就可避免多加的情况，原来的两个操作也就变成了一个操作了，可以证明-1标记只会打 $ M $ 个。

如此就可以拓展到多种标记，?标记数就是该点的?树权值和。为了方便打 $ -1 $ 标记，我们可以交换操作顺序，把同?种标记的?起做,而 $ -1 $ 标记所打的点就是这些相同标记的操作点按 $ DFS $ 序排序之后相邻两点的 $ LCA $ 。
时间复杂度为 $ O(MlogN + N + MlogM) $

ac代码

传送到哪个点便与它建一条边，将其作为父节点，显然 $ 0 $ 为根节点，于是我们只要对分身从小到大进行排序（$ D_i $为第一关键字, $ dfs $ 序为第二关键字），每次枚举 $ D_i $ 相同 $ G_i $ 不同的相邻点对其 $ lca $ 打上 $ -1 $ 标记，其余打上 $ +1 $ 标记，最后跑一遍 $ dfs $ 将每个点的子树的值统计起来就是答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int size=200010;
struct node{
    int g;//地点
    int d;//编号
}b[size];
int f[size][20],d[size],book[size],st[size],a[size],times;
int ver[2*size],v[size],Next[2*size],head[size];
int m,n,tot,t,ans;
int x,y,z;
queue<int> q;
void add(int x,int y){//建树 
    ver[++tot]=y;Next[tot]=head[x];head[x]=tot;
}
void dfs(int x){//确定dfs序 
    v[x]=1;
    st[x]=++times;
    for(int i=head[x];i;i=Next[i]){
        int y=ver[i];
        if(v[y]) continue;
        dfs(y);
    }
}
void bfs(){//lca的预处理 
    q.push(0);d[0]=1;
    while(q.size()){
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=Next[i]){
            int y=ver[i];
            if(d[y]) continue;
            d[y]=d[x]+1;
            f[y][0]=x;
            for(int j=1;j<=t;++j){
                f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
            }
            q.push(y);
        }
    }
}
bool cmp(node a,node b){//排序 
    if(a.d==b.d) return st[a.g]<st[b.g];
    else return a.d<b.d;
}
int lca(int x,int y){//lca 
    if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
    for(int i=t;i>=0;--i){
        if(d[f[y][i]]>=d[x]){
            y=f[y][i];
        } 
    }
    if(x==y) return x;
    for(int i=t;i>=0;--i){
        if(f[x][i]!=f[y][i]){
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];
}
void find(int x){//计算答案
    v[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=Next[i]){
        int y=ver[i];
        if(v[y]) continue;
        find(y);
        book[x]+=book[y];
    }
}
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&m);
    t=((int)(log(n)/log(2)))+1;
    for(int i=1;i<n;++i){//建边 
        scanf("%d",&a[i]);
        add(a[i],i);
        add(i,a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d %d",&b[i].g,&b[i].d);
    }
    dfs(0);
    bfs();
    sort(b+1,b+1+m,cmp);//按照编号排序，其次按dfs序排序  
    int pre=-1;//当前点的上一个 
    for(int i=1;i<=m;++i){//核心代码
        int x=b[i].g;
        book[x]++;
        if(pre!=-1) book[lca(pre,x)]--;//如果编号相同并且地点不同就减去lca 
        pre=x;
        if(i<m&&b[i].d!=b[i+1].d)pre=-1;//判断地点是否相同 
    }
    memset(v,0,sizeof(v));
    find(0);
    for(int i=0;i<n;++i){
        printf("%d\n",book[i]);
    }
    return 0;
}

同机房一位大佬的ac代码（暴力优化跑过！）

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,m,arr[100010],ans[100010],sum[100010],tmp;
int pd[100010];
struct dat{
    int d,g;
};
dat mov[100010];
bool cmp(dat a,dat b){
    if(a.d!=b.d) return a.d<b.d;
    return a.g>b.g;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    --n;
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&arr[i]);
    for(int i=1;i<=m;++i) scanf("%d",&mov[i].g),scanf("%d",&mov[i].d);
    sort(mov+1,mov+1+m,cmp);
    ++m;
    for(register int i=1;i<=m;++i){
        if(mov[i].d!=mov[i-1].d){
            if(mov[i].d!=mov[i+1].d){
                sum[mov[i].g]++;
                continue;
            }
            ++ans[0];
        }
        tmp=mov[i].g;
        while(tmp){
            if(pd[tmp]==mov[i].d) break;
            pd[tmp]=mov[i].d;
            ++ans[tmp];
            tmp=arr[tmp];
        }
    }
    --ans[0];
    for(int i=n;i>=1;--i){
        sum[arr[i]]+=sum[i];
        ans[i]+=sum[i];
    }
    ans[0]+=sum[0];
    for(int i=0;i<=n;++i) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

yzoj P2371 爬山 题解

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