【简解】C2CRNI - Crni

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【题目大意】

给定一个N行N列的矩阵，每个格子要么为白色要么为黑色。黑矩形为所涵单元格数大于等于2且所涵单元格均为黑色的矩表。要解决的问题是在给定的矩形中找出两个没有共公部分的黑矩形，输出所有方案数，由于数较大，输出它对10007的余数。

传送门。

【分析】

听说是道很老的套路题，考试考了这道。。。

有个比较明显的东西，就是我们要求的两个黑矩形没有公共部分，那么必然会有一条竖线（或横线）把这两个黑矩形分开，我们就可以枚举这条竖线（横线）来统计答案。

为了避免计算重复，我们需要一边固定，另一边统计总和。并且，还应减去既能被一条竖线分开又能被一条横线分开的两个黑矩形（因为它被算了两次嘛）。

大体思路就是这样，然后就是实现。

比较容易想到的就是计算以每个格子为左下角（右下角、左上角、右上角）的黑矩形有多少个。

考试的时候太弱了，只会写\(O(n^4)\)的暴力。。。（它还挂了）

简单说一点暴力吧，就是\(O(n^2)\)枚举每个格子，然后\(O(n^2)\)枚举矩形的长度，可以用二维前缀和\(O(1)\)来判断枚举的矩形是否合法，然后就\(O(n^4)\)预处理，再\(O(n^2)\)统计贡献。

可以看到，预处理是瓶颈，我们应考虑如何优化预处理的复杂度。

对每一行拆开考虑，我们会发现比较像直方图里的最大矩形，然后就做啊。

我们以计算以每个格子为右下角的黑矩形有多少个为例。

设\(f[i][j]\)就是以\((i,j)\)为右下角的黑矩形有多少个，我们会发现，它可以直接继承它前面出现的第一个小于它高度的位置的答案，那中间那些比它还高的矩形呢，没错，只能扩展它自己的高度。

即\(f[i][j]=f[i][k]+1+h[j]*(j-k)-1\)

其中\(k\)表示从\(j\)向前走第一次出现的\(h[k]<h[j]\)的位置，那么直接可以继承\(f[i][k]\)，然后加一，然后对于那块大的矩形里的所有点均可作为当前矩形的左上角，除了自己本身，因为\(1\times 1\)的黑矩形不能算入答案，所以会减一。

考虑到\(k\)的计算，想到单调栈优化，可以做到\(O(1)\)转移。

所以我们做到了\(O(n^2)\)预处理，然后就行了。

细节有点多，还有要注意时刻取模。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
const int P = 10007;
const int N = 1000 + 5; 
inline int read(){
    int f = 1, x = 0; char ch;
    do { ch = getchar(); if (ch == '-') f = -1; } while (ch < '0' || ch > '9');
    do {x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0'; ch = getchar(); } while (ch >= '0' && ch <= '9'); 
    return f * x;
}
inline void hand_in() {
    freopen("crni.in", "r", stdin);
    freopen("crni.out", "w", stdout);
}
int n, mp[N][N], res;
int f[N][N], g[N][N], h[N];
char ch[N][N]; int sta[N], top;
int main(){
//  hand_in();
    n = read();
    for (int i = 1;i <= n; ++i) scanf("%s", ch[i] + 1);
    for (int i = 1;i <= n; ++i) {
        for (int j = 1;j <= n; ++j) {
            mp[i][j] = (ch[i][j] == 'C');
        }
    }
    // 左上 
    memset(h, 0, sizeof h);
    for (int i = 1;i <= n; ++i) {
        top = 0;
        sta[top] = 0;
        for (int j = 1;j <= n; ++j) {
            if (mp[i][j] == 1) h[j] ++;
            else h[j] = 0;
            if (h[j] == 0) {
                top = 0;
                sta[top] = j;
                continue;
            }
            int size;
            while (top && h[sta[top]] >= h[j]) top --;
            size = h[j] * (j - sta[top]) - 1;
            f[i][j] = f[i][sta[top]] + size + (top > 0);
            f[i][j] %= P;
            sta[++top] = j;
        }
    }
    //右下 
    memset(h, 0, sizeof h);
    for (int i = n;i >= 1; --i) {
        top = 0;
        sta[top] = n + 1;
        for (int j = n;j >= 1; --j) {
            if (mp[i][j] == 1) h[j] ++;
            else h[j] = 0;
            if (h[j] == 0) {
                top = 0;
                sta[top] = j;
                continue;
            }
            int size;
            while (top && h[sta[top]] >= h[j]) top --;
            size = h[j] * (sta[top] - j) - 1;
            g[i][j] = g[i][sta[top]] + size + (top > 0);
            g[i][j] %= P;
            sta[++top] = j;
        }
    }
    int suma = 0, sumb = 0;
    for (int i = 1;i < n; ++i) {
        for (int j = 1;j <= n; ++j) {
            suma += f[i][j], sumb += g[i + 1][j];
            suma %= P, sumb %= P;
        }
        res += suma * sumb;
        res %= P;
        sumb = 0;
    }
    suma = 0, sumb = 0;
    for (int j = 1;j < n; ++j) {
        for (int i = 1;i <= n; ++i) {
            suma += f[i][j], sumb += g[i][j + 1];
            suma %= P, sumb %= P;
        }
        res += suma * sumb;
        res %= P;
        sumb = 0;
    }
    for (int i = 1;i <= n; ++i) {
        for (int j = 1;j <= n; ++j) {
            f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + P;
            f[i][j] %= P;
        }
    }
    for (int i = 1;i < n; ++i) {
        for (int j = 1;j < n; ++j) {
            res -= (f[i][j] * g[i + 1][j + 1] + P) % P;
            while (res < 0) res += P;
        }
    }
    //右上 
    memset(f, 0, sizeof f);
    memset(h, 0, sizeof h);
    for (int i = 1;i <= n; ++i) {
        top = 0;
        sta[top] = n + 1;
        for (int j = n;j >= 1; --j) {
            if (mp[i][j] == 1) h[j] ++;
            else h[j] = 0;
            if (h[j] == 0) {
                top = 0;
                sta[top] = j;
                continue;
            }
            int size;
            while (top && h[sta[top]] >= h[j]) top --;
            size = h[j] * (sta[top] - j) - 1;
            f[i][j] = f[i][sta[top]] + size + (top > 0);
            f[i][j] %= P;
            sta[++top] = j;
        }
    }
    //左下 
    memset(g, 0, sizeof g);
    memset(h, 0, sizeof h);
    for (int i = n;i >= 1; --i) {
        top = 0;
        sta[top] = 0;
        for (int j = 1;j <= n; ++j) {
            if (mp[i][j] == 1) h[j] ++;
            else h[j] = 0;
            if (h[j] == 0) {
                top = 0;
                sta[top] = j;
                continue;
            }
            int size;
            while (top && h[sta[top]] >= h[j]) top --;
            size = h[j] * (j - sta[top]) - 1;
            g[i][j] = g[i][sta[top]] + size + (top > 0);
            g[i][j] %= P;
            sta[++top] = j;
        }
    }
    for (int i = 1;i <= n; ++i) {
        for (int j = n;j >= 1; --j) {
            f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j + 1] - f[i - 1][j + 1] + P;
            f[i][j] %= P;
        }
    }
    for (int i = 1;i < n; ++i) {
        for (int j = 2;j <= n; ++j) {
            res -= (f[i][j] * g[i + 1][j - 1] + P) % P;
            while (res < 0) res += P;
        }
    }
    printf("%d", res);
    return 0;
}

【简解】C2CRNI - Crni

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