佩尔方程

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什么是佩尔方程

$$x^2-Dy^2 = 1,\ D \in \mathbb{N}^+$$

佩尔方程的解

如果 $D$ 是完全平方数，则方程只有平凡解： $(\pm 1, 0)$.

如果 $D$ 不是平方数，设 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 是上述方程的两个解，那么 $(x_1x_2 + y_1y_2*D, \ x_1y_2, x_2y_1)$ 也是方程的一组解。

则方程解的递推式为：

$$\begin{cases}
x_n = x_{n-1}*x_1 + y_{n-1}*y_1*D & \\
y_n = x_{n-1}*y_1 + y_{n-1}*x_1 &
\end{cases}$$

规模较大时，可以打表或者矩阵快速幂解决。

最小特解

由上面递推的方法知，需要先求得一组特解。

可以暴力枚举，也可以用连分数法。

佩尔方程

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原文地址：https://www.cnblogs.com/lfri/p/11652463.html