标签：ima 筛选 euler nes color 欧拉 break 联系 height
如果我们想要知道小于等于 $n$ 有多少个素数呢？
一个自然的想法是我们对于小于等于 $n$ 的每个数进行一次判定。这种暴力的做法显然不能达到最优复杂度，考虑如何优化。
考虑这样一件事情：如果 是合数，那么 的倍数也一定是合数。利用这个结论，我们可以避免很多次不必要的检测。
如果我们从小到大考虑每个数，然后同时把当前这个数的所有（比自己大的）倍数记为合数，那么运行结束的时候没有被标记的数就是素数了。
int Eratosthenes(int n) { int p = 0; for (int i = 0; i <= n; ++i) is_prime[i] = 1; is_prime[0] = is_prime[1] = 0; for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (is_prime[i]) { prime[p++] = i; // prime[p]是i,后置自增运算代表当前素数数量 for (int j = i * i; j <= n; j += i) // 因为从 2 到 i - 1 的倍数我们之前筛过了，这里直接从 i // 的倍数开始，提高了运行速度 is_prime[j] = 0; //是i的倍数的均不是素数 } } return p; }
以上为 Eratosthenes 筛法 （埃拉托斯特尼筛法），时间复杂度是 $O(nloglogn)$.
以上做法仍有优化空间，我们发现这里面似乎会对某些数标记了很多次其为合数。有没有什么办法省掉无意义的步骤呢？
答案当然是：有！
如果能让每个合数都只被标记一次，那么时间复杂度就可以降到 $O(n)$了。
//这里再求素数的同时也计算了 $phi$ ，是为了看出素数筛与线性筛的联系。
void init() { phi[1] = 1; for (int i = 2; i < MAXN; ++i) { if (!vis[i]) { phi[i] = i - 1; pri[cnt++] = i; } for (int j = 0; j < cnt; ++j) { if (1ll * i * pri[j] >= MAXN) break; vis[i * pri[j]] = 1; if (i % pri[j]) { phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1); } else { // i % pri[j] == 0 // 换言之，i 之前被 pri[j] 筛过了 // 由于 pri 里面质数是从小到大的，所以 i 乘上其他的质数的结果一定会被 // pri[j] 的倍数筛掉，就不需要在这里先筛一次，所以这里直接 break // 掉就好了 phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j]; break; } } } }
关键之处在：if(i%prime[j]==0) break;
这句代码保证了每个数最多被筛一次，将时间复杂度降到了线性。
证：prime[]数组中的素数是递增的,当i能整除prime[j]，那么i*prime[j+1]这个合数肯定会被prime[j]乘以某个数筛掉。因此，这里直接break掉，将i*prime[j+1]及之后的给后面的数去筛。这种方法能保证每个数只被筛一遍，又能保证每个数都被筛到。
为了更好的理解，画出前面几次筛的情况：
从图上我们看到，第一列筛掉的是最小素因子是2的数，第二列筛掉的是最小素因子为3的数，依次类推，可以把所有的合数都筛掉。
因为是按照最小素因子筛选，每个数的最小素因数只有一个，所以可以保证每个数都只会被筛一遍。
例如，$i=6$ 时，第一个素数是2，能整除，筛掉12后就break；至于第二个素数3，6x3中的最小素因数肯定是前一个素数2，所以它要到 $i=9$，素数取2时才被筛掉。
上面的这种 线性筛法 也称为 Euler 筛法 （欧拉筛法）。
欧拉筛的速度大概是埃氏的3~4倍，然而在小数据中却有被完爆的可能（因为埃氏筛cache友好？）。
1.https://www.jianshu.com/p/f16d318efe9b
2. http://www.voidcn.com/article/p-uetmmxng-bha.html
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原文地址：https://www.cnblogs.com/lfri/p/11679306.html
