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抽象函数的单调性证明

时间:2019-10-15 20:54:04      阅读:130      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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前言

一般来说,对于函数的单调性的证明方法,可以使用定义法和导数法,但是导数法往往需要依托解析式,故对抽象函数的单调性的证明方法,就只能使用定义法了。比如需要证明增函数,常常令\(x_1<x_2\),然后想办法证明\(f(x_1)-f(x_2)<0\)

注意涉及抽象函数的单调性的变形技巧;

典例剖析

例1【定义法】【抽象函数的单调性-变形1】定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(x+y)=f(x)+f(y)-1\),且\(x>0\)时,\(f(x)<1\),判定函数单调性。

分析:令\(x_1<x_2\in R\),则\(x_2-x_1>0\),故\(f(x_2-x_1)<1\)

则有\(f(x_2)-f(x_1)=f[(x_2-x_1)+x_1]-f(x_1)\)\(=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1-f(x_1)\)\(=f(x_2-x_1)-1<0\)

\(f(x_2)<f(x_1)\)

\(x_1<x_2\in R\),以及\(f(x_2)<f(x_1)\),故函数\(f(x)\)\(R\)上单调递减。

注意变形:\(f(x_2)=f[(x_2-x_1)+x_1]=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1\)

例2【定义法】【抽象函数的单调性-变形2】【2018·德州模拟】已知定义在\((0,+\infty)\)上的函数\(f(x)\),满足 \(f(xy)=f(x)+f(y)\)\(x>1\) 时,\(f(x)<0\),判断函数\(f(x)\)的单调性.

分析:令\(0<x_1<x_2\),则\(\cfrac{x_2}{x_1}>1\),故\(f(\cfrac{x_2}{x_1})<0\)

则有\(f(x_2)-f(x_1)=f[(\cfrac{x_2}{x_1})\cdot x_1]-f(x_1)\)\(=f(\cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1)-f(x_1)\)\(=f(\cfrac{x_2}{x_1})<0\)

故函数\(f(x)\)\((0,+\infty)\)上单调递减。

注意变形:\(f(x_2)=f[(\cfrac{x_2}{x_1})\cdot x_1]=f(\cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1)\)

例3【定义法】【抽象函数的单调性-变形3】已知函数\(f(x)\)的定义域为\(R\),对任意实数\(m\)\(n\)都满足\(f(m+n)=f(m)+f(n)+\cfrac{1}{2}\),且\(f(\cfrac{1}{2})=0\),当\(x>\cfrac{1}{2}\)时,\(f(x)>0\)

(1)求\(f(1)\)

分析:赋值法,令\(m=n=\cfrac{1}{2}\),则\(f(1)=2f(\cfrac{1}{2})+\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}\)

(2)判断函数\(f(x)\)的单调性,并证明。

分析:令\(m=n=0\),则得到\(f(0)=-\cfrac{1}{2}\)

\(m=-n\),则\(f(m-m)=f(m)+f(-m)+\cfrac{1}{2}\),则\(f(m)+f(-m)=-1\)

\(m=\cfrac{1}{2}\),由\(f(m)+f(-m)=-1\)\(f(\cfrac{1}{2})=0\),得到\(f(-\cfrac{1}{2})=-1\)

\(x_2>x_1\),则\(x_2-x_1>0\),则\(x_2-x_1+\cfrac{1}{2}>\cfrac{1}{2}\),则\(f(x_2-x_1+\cfrac{1}{2})>0\)

\(f(x_2)-f(x_1)=f[(x_2-x_1)+x_1]-f(x_1)=f(x_2-x_1)+f(x_1)+\cfrac{1}{2}-f(x_1)\)

\(=f(x_2-x_1)+\cfrac{1}{2}=f[(x_2-x_1+\cfrac{1}{2})+(-\cfrac{1}{2})]+\cfrac{1}{2}\)

\(=f(x_2-x_1+\cfrac{1}{2})+f(-\cfrac{1}{2})+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}=f(x_2-x_1+\cfrac{1}{2})-1+1\)

\(=f(x_2-x_1+\cfrac{1}{2})>0\),即\(f(x_2)>f(x_1)\)

故函数\(f(x)\)\(R\)上单调递增。

解后反思:为了利用条件\(x>\cfrac{1}{2}\)时,\(f(x)>0\),故变形\(f(x_2-x_1)=f[(x_2-x_1+\cfrac{1}{2})+(-\cfrac{1}{2})]\)

抽象函数的单调性证明

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原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11679971.html

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