标签:line 需要 定义 赋值 方法 lin 前言 color rac
一般来说,对于函数的单调性的证明方法,可以使用定义法和导数法,但是导数法往往需要依托解析式,故对抽象函数的单调性的证明方法,就只能使用定义法了。比如需要证明增函数,常常令\(x_1<x_2\),然后想办法证明\(f(x_1)-f(x_2)<0\);
注意涉及抽象函数的单调性的变形技巧;
分析:令\(x_1<x_2\in R\),则\(x_2-x_1>0\),故\(f(x_2-x_1)<1\);
则有\(f(x_2)-f(x_1)=f[(x_2-x_1)+x_1]-f(x_1)\)\(=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1-f(x_1)\)\(=f(x_2-x_1)-1<0\),
即\(f(x_2)<f(x_1)\),
由\(x_1<x_2\in R\),以及\(f(x_2)<f(x_1)\),故函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递减。
注意变形:\(f(x_2)=f[(x_2-x_1)+x_1]=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1\)
分析:令\(0<x_1<x_2\),则\(\cfrac{x_2}{x_1}>1\),故\(f(\cfrac{x_2}{x_1})<0\);
则有\(f(x_2)-f(x_1)=f[(\cfrac{x_2}{x_1})\cdot x_1]-f(x_1)\)\(=f(\cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1)-f(x_1)\)\(=f(\cfrac{x_2}{x_1})<0\),
故函数\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递减。
注意变形:\(f(x_2)=f[(\cfrac{x_2}{x_1})\cdot x_1]=f(\cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1)\)
(1)求\(f(1)\);
分析:赋值法,令\(m=n=\cfrac{1}{2}\),则\(f(1)=2f(\cfrac{1}{2})+\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}\);
(2)判断函数\(f(x)\)的单调性,并证明。
分析:令\(m=n=0\),则得到\(f(0)=-\cfrac{1}{2}\),
令\(m=-n\),则\(f(m-m)=f(m)+f(-m)+\cfrac{1}{2}\),则\(f(m)+f(-m)=-1\),
令\(m=\cfrac{1}{2}\),由\(f(m)+f(-m)=-1\)和\(f(\cfrac{1}{2})=0\),得到\(f(-\cfrac{1}{2})=-1\)
令\(x_2>x_1\),则\(x_2-x_1>0\),则\(x_2-x_1+\cfrac{1}{2}>\cfrac{1}{2}\),则\(f(x_2-x_1+\cfrac{1}{2})>0\)
则\(f(x_2)-f(x_1)=f[(x_2-x_1)+x_1]-f(x_1)=f(x_2-x_1)+f(x_1)+\cfrac{1}{2}-f(x_1)\)
\(=f(x_2-x_1)+\cfrac{1}{2}=f[(x_2-x_1+\cfrac{1}{2})+(-\cfrac{1}{2})]+\cfrac{1}{2}\)
\(=f(x_2-x_1+\cfrac{1}{2})+f(-\cfrac{1}{2})+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}=f(x_2-x_1+\cfrac{1}{2})-1+1\)
\(=f(x_2-x_1+\cfrac{1}{2})>0\),即\(f(x_2)>f(x_1)\),
故函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增。
解后反思:为了利用条件\(x>\cfrac{1}{2}\)时,\(f(x)>0\),故变形\(f(x_2-x_1)=f[(x_2-x_1+\cfrac{1}{2})+(-\cfrac{1}{2})]\)
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