「总结」容斥。二.反演原理 5.划分容斥

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参考的$blogs$这篇

还有具体数学。

是斯特林反演了。

首先必要的是两类斯特林数。

在定义上很重要的区别就是第一类是划分排列，而第二类是划分组合。

性质上比较重要的就是第一类是将升降幂转化为通常幂，第二类则反之。

 f(n)=∑k=0n{nk}g(k)?g(n)=∑k=0n(−1)n−k[nk]f(k)

$fr.$第一类斯特林数。

$$\left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]$$

$n$个元素划分为$k$个集合，每个集合内圆排列的方案数。

根据定义，枚举第$n$个元素是处于一个新的集合，还是处于之前某个集合中的某个元素的右侧，可以得到递推式：

$$\left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}n-1\\k-1\end{array}\right]+(n-1)\left[\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right]$$

性质1：

说过了第一类斯特林数是划分排列。

$$\sum\limits_{i=0}^{n}\left[\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right]=n!$$

证明：排列唯一定义一个轮换，轮换唯一定义一个排列。

性质上比较重要的就是第一类是将升降幂转化为通常幂，第二类则反之。

性质2：

$$x^{\underline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\left[\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right]x^i$$

归纳证明：

$$\begin{array}{rcl} \\ x^{\underline{n+1}}&=&(x-n)x^{\underline{n}}\\&=&x\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^{i}-n\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^{i}\\&=&\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^{i+1}+n\sum\limits_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}(-1)^{n-i+1}x^{i}\\&=&\sum\limits_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i-1 \end{bmatrix}(-1)^{n-i+1}x^{i}+n\sum\limits_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}(-1)^{n-i+1}x^{i}\\&=&\sum\limits_{i=1}^{n+1}\left(\begin{bmatrix}n\\i-1 \end{bmatrix}+n\begin{bmatrix}n\\i \end{bmatrix}\right)(-1)^{n-i+1}x^i\\&=&\sum\limits_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n+1\\i \end{bmatrix}(-1)^{n+1-i}x^i\\&=&x^{\underline{n+1}}\\ \end{array}$$

性质3：

$$x^{\overline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i$$

归纳证明：
$$\begin{array}{rcl}\\x^{\overline{n+1}}&=&(x+n)x^{\overline{n}}\\&=&(x+n)\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\\&=&\sum\limits_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i-1 \end{bmatrix}x^i+n\sum\limits_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\\&=&\sum\limits_{i=1}^{n+1}\left(\begin{bmatrix}n\\i-1\end{bmatrix}+n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\right)x^i\\&=&\sum\limits_{i=1}^{n+1}\begin{bmatrix}n+1\\i\end{bmatrix}x^i\\&=&x^{\overline{n+1}}\ \end{array}$$

求第一类斯特林数：

利用性质3：

设母函数$f(x)^n=x^{\underline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}a_ix^i$

那么求出的$a_i$其实就是一行的第一类斯特林数，考虑倍增$FFT$

$$f(x)^{2n}=f(x)^f(x+n)^n$$

当我们得到$f(x)^n$的时候考虑如何求出$f(x+n)^n

$$\begin{array}{rcl}f(x+n)^n&=&\sum\limits_{i=0}^{n}a_i(x+n)^i\\&=&\sum\limits_{i=0}^{n}a_i\sum\limits_{j=0}^{i}\binom{i}{j}x^j n^{i-j}\\&=&\sum\limits_{i=0}^{n}x^i\sum\limits_{j=i}{n}\binom{j}{i}a_jn^{j-i}\\&=&\sum\limits_{i=0}^{n}x^i i!\sum\limits_{j=i}{n}\frac{j!}{(j-i)!}n^{j-i}a_j\end{array}$$

后面是个卷积，直接$NTT$就完事。

倍增求解复杂度仍然为$O(nlogn)$

$se.$第二类斯特林数。

$$\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}$$

$n$个元素划分为$k$个集合的方案数。

根据定义，枚举第$n$个元素所在的集合，可以得到递推式：

$$\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}$$

性质1：

$$k^n=\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i!\binom{k}{i}=\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}k^{\underline{i}}$$

我们在$k$个集合中选择$i$个集合放入元素，然后全排列这些集合，得到的就是$n$个元素放入$k$个可空集合的方案数。

性质2：

说过了第二类斯特林数是划分组合。

考虑用组合数来表示斯特林数。

利用容斥原理即可，我们枚举$k$个集合中至少空的集合，并且将之除去排列，得到：

$$\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\frac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^i\binom{k}{i}(k-i)^n$$

是奇加偶减。

求第二类斯特林数:

利用性质2。

展开：

$$\begin{array}{rcl}\ \begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}&=&\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^i\frac{1}{k!}\frac{k!}{i!(k-i)!}(k-i)^n\\&=&\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^i\frac{1}{i!}\frac{(k-i)^n}{(k-i)!}\end{array}$$

是卷积的形式，那么可以在$O(nlogn)$的复杂度内求出第$n$行斯特林数。

$th.$斯特林反演。

首先给出结论：

$$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}g(i) ->\ g(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}(-1)^{n-i}f(i)$$

两个引理：

$$x^{\underline{n}}=(-1)^n(-x)^{\overline{n}}$$

$$x^{\overline{n}}=(-1)^n(-x)^{\underline{n}}$$

只证明第一个：

证明:

$$\begin{array}{rcl}x^{\underline{n}}&=&(-1)^n\prod\limits_{i=0}^{n-1}(-(x-i))\\&=&(-1)^n(-1)^n\prod\limits_{i=0}^{n-1}(x-i)\\&=&x^{\underline{n}}\end{array}$$

两个反转公式：

$$\sum\limits_{i=m}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}i\\m\end{Bmatrix}=[m=n]$$

$$\sum\limits_{i=m}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}\begin{bmatrix}i\\m\end{bmatrix}=[m=n]$$

反转一证明：

由第一类斯特林数性质2和第二类斯特林数性质1得到：

$$\begin{array}{rcl}x^{\underline{n}}&=&\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\\&=&\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\sum\limits_{j=0}^{i}\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}x^{\underline{j}}\ \end{array}$$

更换枚举顺序得到：

$$=\sum\limits_{i=0}^{n}x^{\underline{i}}\sum\limits_{j=i}^{n}(-1)^{n-j}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}j\\i\end{Bmatrix}$$

设$f(n,m)=\sum\limits_{i=m}^{n}(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}i\\m\end{Bmatrix}$

那么:

$$\begin{array}{rcl}&=&\sum\limits_{i=0}^{n}x^{\underline{i}}f(n,i)\\&=&x^{\underline{n}}\\&=&\sum\limits_{i=0}^{n}x^{\underline{i}}[n=i]\end{array}$$

所以:

$$f(n,m)=[n=m]$$

$$f(n,m)=[n=m]$$

$$f(n,m)=[n=m]$$

$$f(n,m)=[n=m]$$

$$f(n,m)=[n=m]$$

$$f(n,m)=[n=m]$$

$f$和反转公式一是相等的，得证。

然后反转二证明：

$$x^n=\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}(-1)^{i}x^{\underline{i}}$$

利用引理二：

$$\begin{array}{rcl}&=&\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}(-1)^i\sum\limits_{j=0}^{i}\begin{bmatrix}i\\j\end{bmatrix}(-1)^j(x)^j\\&=&\sum\limits_{i=0}^{n}x^j\sum\limits_{j=i}^{n}(-1)^{j-i}\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}\begin{bmatrix}j\\i\end{bmatrix}\end{array}$$

斯特林反演证明：

假设：

$$g(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n}(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}$$

$$\begin{array}{rcl}f(n)&=&\sum\limits_{i=0}^{n}[n=i]f(i)\\&=&\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=i}^{n}(-1)^{n-j}\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}\begin{bmatrix}j\\i\end{bmatrix}f(i)\\&=&\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}\sum\limits_{j=0}^{i}\begin{bmatrix}i\\j\end{bmatrix}f(i)\\&=&\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}g(i)\ \end{array}$$

另一种至少形式：

$$f(m)=\sum\limits_{i=m}^{n}\begin{Bmatrix}i\\m\end{Bmatrix}g(i) ->\ g(m)=\sum\limits_{i=m}^{n}\begin{bmatrix}i\\m\end{bmatrix}(-1)^{i-m}g(i)$$

$fo.$相互再归的鹅妈妈。

与其说是斯特林反演不如说是系数构造容斥了。

根据某个斯特林数的性质设计容斥：

$$x^{\underline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i$$

将$x=1$带入。

$$\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}=1^{\underline{n}}=[n=1]$$

因为下降幂再乘就乘到0了。

设集合$S$有$n$个元素，$S$的一种集合划分为$m$，记作$m\in S$,$m$中的集合个数称做$k$，每个集合的大小称作$a_i$。

考虑第一类斯特林数的意义，其实就是枚举每一种划分，然后将划分中的每个集合排序。

那么：

$$[n=1]=\sum\limits_{m\in S}(-1)^{n-k}\prod{i=1}^{k}(a_i-1)!=\sum\limits_{m\in S}\prod{i=1}^{k}(a_i-1)!(-1)^{a_i-1}$$

这就是题解写的那个式子了，俩月之前还理解不了呢。

假设我们已经求出可以重复的方案数。

我们把$n$集合划分，要求相同的数在同一集合，不同的在不同集合。

对于一个划分方案，我们发现它要满足的条件是：

$$\prod\limits_{i=1}^{k}[a_i=1]$$

也就是各不相同。

设一个容斥系数$f(m)$，总的被计算的方案就是：

$$\sum\limits_{m\in S}f(m)\prod\limits_{i=1}^{k}\begin{bmatrix}a_i\\1\end{bmatrix}$$

要求每个被计算的方案都满足：

$$\prod\limits_{i=1}^{k}[a_i=1]$$

那么:

$$f(m)=(-1)^{n-k}$$

设$dp[i]$为$i$个人可重复的方案数。

$$ans=\sum\limits_{m\in S}dp[k](-1)^{n-k}\prod\limits_{i=1}^{k}\begin{bmatrix}a_i\\1\end{bmatrix}=\sum\limits_{m\in S}dp[k]\prod\limits_{i=1}^{k}(a_i-1)!(-1)^{a_i-1}$$

现在考虑求$dp$数组。

首先考虑有序方案，最后除去$n!$即可。

枚举究竟在哪一位某个人开始与$R$不相同，这样得到了的人后面可以乱填，同时只需要留一个人来调和其他不为0的位置即可。

数位$dp$。

好久以前的题啊，终于还是解决掉了。

「总结」容斥。二.反演原理 5.划分容斥

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Lrefrain/p/11673643.html