标签：矩阵 tar tle blog lis 优化问题 min toc class
更新、更全的《机器学习》的更新网站，更有python、go、数据结构与算法、爬虫、人工智能教学等着你：https://www.cnblogs.com/nickchen121/
牛顿法(Newton method)和拟牛顿法(quasi-Newton method)和梯度下降法一样也是求解最优化问题的常用方法，但是他们的收敛速度比梯度下降法快。牛顿法是迭代算法，每一步都需要求目标函数的海森矩阵的逆矩阵，计算复杂；拟牛顿法通过正定矩阵近似海森矩阵的逆矩阵，简化这个计算过程。
对于一个约束问题
\[
\underbrace{min}_{x\in{R^n}}f(x)
\]
其中\(x^*\)为目标函数的极小点。
假设\(f(x)\)具有二阶连续偏导数，如果第\(k\)次迭代值为\(x^{(k)}\)，则可以把\(f(x)\)在\(x^{(k)}\)附近使用二阶泰勒展开
\[
f(x)=f(x^{(k)})+g_k^T(x-x^{(k)})+\frac{1}{2}(x-x^{(k)})^TH(x^{(k)})(x-x^{(k)})
\]
其中\(g_k=g(x^{(k)})=\nabla{f(x^{(k)})}\)是\(f(x)\)的梯度向量在点\(x^{(k)}\)的值，\(H(x^{(k)})\)是\(f(x)\)的海森矩阵
\[
H(x)=[\frac{\partial^2f}{\partial{x_i}\partial{x_j}}]_{m*n}
\]
在点\(x^{(k)}\)的值。函数\(f(x)\)有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0。特别是当\(H(x^{(k)})\)是正定矩阵的时候，函数\(f(x)\)的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件
\[
\nabla{f(x)}=0
\]
每次迭代中从点\(x^{(k)}\)开始，求目标函数的极小点，作为第\(k+1\)次迭代值\(x^{(k+1)}\)，即假设\(x^{(k+1)}\)满足
\[
\nabla{f(x^{(k+1)}}=0
\]
通过泰勒二阶展开式即可得
\[
\nabla{f(x)}=g_k+H_k(x-x^{(k)})
\]
其中\(H_k=H(x^{(k)})\)，由此\(\nabla{f(x^{(k+1)}}=0\)变成
\[
g_k+H_k(x^{(k+1)}-x^{(k)}) = 0
\]
因此
\[
x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}g_k
\]
或
\[
x^{(k+1)}=x^{(k)}+p_k
\]
其中
\[
\begin{align}
& x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}g_k=x^{(k)}+p_k \& -H_k^{-1}g_k=p_k \& H_kp_k=-g_k
\end{align}
\]
使用\(x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}g_k\)作为迭代公式的算法就是牛顿法。
从本质上去看，牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，所以牛顿法更快。如果更通俗地说的话，比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。所以，可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点，能更快地走到最底部。
虽然牛顿法看起来比梯度下降法好很多，但是别忘记了牛顿法迭代过程中需要计算海森矩阵的逆矩阵，如果数据量较大的话，牛顿法的计算开销将远远大于梯度下降法。
目标函数\(f(x)\)，梯度\(g(x)=\nabla{f(x)}\)，海森矩阵\(H(x)\)，精度要求\(\epsilon\)
\(f(x)\)的极小点\(x^*\)
在第4步求\(p_k\)的时候，\(p_k=-H_k^{-1}g_k\)，要求求海森矩阵的逆矩阵\(H_k^{-1}\)，计算会比较复杂。
在牛顿法的迭代中，需要计算海森矩阵的逆矩阵\(H^{-1}\)，这个过程是比较复杂的，而拟牛顿法则使用了一个\(n\)阶矩阵\(G_k=G(x^{(k)})\)近似替代\(H_k^{-1}=H^{-1}(x^{(k)})\)，此处不多赘述。
标签：矩阵 tar tle blog lis 优化问题 min toc class
原文地址：https://www.cnblogs.com/nickchen121/p/11686761.html
