函数性质的综合应用[周末讲座提纲]

时间：2019-10-17 14:14:13 阅读：131 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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一、知识梳理

1、函数的性质：定义域，值域[极值，最值]，单调性，奇偶性，周期性，对称性，零点；

2、基本初等函数：常函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数；

3、各种性质的给出方式：

单调性常用给出方式

1、以图像的形式给出；
2、题目中用文字语言直接给出；
3、以定义式给出；
4、以定义的等价变形形式【积式】给出；
5、以定义的等价变形形式【商式】给出；
6、以函数单调性的结论形式给出；
7、以导数的形式给出，

奇偶性常用给出方式

1、直接给出；
2、以定义式给出；
3、定义的变形式给出；
4、以图像的形式【或分段函数的形式】给出；
5、以奇偶性的性质应用的结论形式给出；
6、以整体与部分具有奇偶性的形式给出，
7、以图像变换为依托给出，

常见的奇函数：

$f(x)=kx$；

$f(x)=x^3$；

$f(x)=x^k(k为奇数)$；

$y=Asin\omega x$；

$y=e^x-e^{-x}$；

$y=2^x-2^{-x}$；

$y=ln\frac{x+1}{x-1}$；

$f(x)=x+\frac{k}{x}(k\neq 0)$；

$g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)$；

$g(x)=x^3+lg(\sqrt{x^2+1}+x)$；

$f(x)=x^3\pm 3sinx$

$f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)$；

常见的偶函数：

$f(x)=x^2$；

$y=k|x|(k\in R)$；

$y=e^{|x|}$；

$f(x)=x^k(k为偶数)$；

$y=Acos \omega x+k$；

$y=e^x+e^{-x}$；

$y=2^x+2^{-x}$；

$f(x)=ln(1+|x|)$；

$f(x)=\frac{|x|}{x^2+1}$

周期性常用给出方式

1、以图像的形式给出；
2、以周期的定义式给出；
3、以周期性的结论给出；

对称性常用给出方式

1、以图像的形式给出；
2、以奇偶性的形式给出[奇偶性是对称性的特例]；
3、以奇偶性的拓展形式给出；
4、以周期性+奇偶性的形式给出；

廓清认知，区分三种容易混淆的性质

【周期性】两个自变量的整体相加不能消掉$x$的就表现为周期性；

如由$f(x+2)=f(x)$，则$T=2$，如由$f(x+2)=-f(x)$，则$T=4$，

【对称性】两个自变量的整体相加能消掉$x$的就表现为对称性；

如由$f(-x)+f(x)=0$，对称中心为$(0，0)$，即奇函数；特殊的对称性。

如由$f(4-x)+f(x)=2$，对称中心为$(2，1)$，即一般的对称性，中心对称；

如由$f(-x)-f(x)=0$，对称轴为$x=0$，即偶函数，特殊的对称性；

如由$f(2-x)-f(x)=0$，对称轴为$x=1$，即一般的对称性，轴对称；

思维盲点

函数的奇偶性、对称性、周期性三个性质，只要知道其中两个，就能推导出第三个，而第三个常常在解题中是必不可少的，故需要我们打通思维中的盲点，熟练掌握以下的变形和数学思想方法：

对称性+奇偶性$\Longrightarrow$周期性的变形例子

如，已知函数$f(x)$是奇函数，且满足$f(2-x)=f(x)$，

则由$\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow$周期$T=4$

奇偶性+周期性$\Longrightarrow$对称性的变形例子

如，已知函数$f(x)$是奇函数，且满足$f(x+4)=-f(x)$，

则由$\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow$对称轴是$x=2$

对称性+周期性$\Longrightarrow$奇偶性的变形例子

如，已知函数$f(x)$的周期是2，且满足$f(2+x)=f(-x)$，

则由$\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}$ $\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow$函数$f(x)$是偶函数。

二、例题选讲

例1【2016高考文科数学全国卷2第12题】【共用对称轴】已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(x)=$ $f(2-x)$，若函数$y=|x^2-2x-3|$与函数$y=f(x)$图像的交点为$(x_1，y_1)$，$(x_2，y_2)$，$\cdots$，$(x_m，y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m{x_i}$的值为【】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

例2【2017全国卷1文科第9题高考真题】已知函数$f(x)=lnx+ln(2-x)$，则【】

$A.$在$(0，2)$上单调递增

$B.$在$(0，2)$上单调递减

$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=1$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(1，0)$对称

例3【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在$R$上的函数$y=f(x)$满足以下条件：

①对任意的$x\in R$，都有$f(x+2)=f(x-2)$；

②函数$y=f(x+2)$是偶函数；

③当$x\in(0，2]$时，$f(x)=e^x-\cfrac{1}{x}$，

若已知$a=f(-5)$，$b=f(\cfrac{19}{2})$，$c=f(\cfrac{41}{4})$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是【】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$