题解 P1516 【青蛙的约会】

标签：lin   oss   过程   end   coding   ssi   swap   难度   扩展欧几里得   

这道题，是一道挺有难度的题。

设两只青蛙跳了\(a\)步，则\(A\)蛙的坐标是\(x+ma\),\(B\)蛙的坐标是\(y+na\)

所以两只青蛙相遇的充分条件是\(x+ma-(y+na) = Lb\ (b \in Z)\)

提公因式得\((m-n)a + (x-y) = Lb\)

移项，方程两边同城\(-1\)得\((n-m)a + Lb = (x-y)\)

令\(x = (m-n)\),\(y = L\),\(d = gcd(x,y)\)

用扩展欧几里得解\(xa + yb = d\)的一组解\((a,b)\)

若\((x-y) \% d \neq 0\)或\(m = n\)无解

否则\(a\)就是我们求的一组解，但不一定是题目要求的解

所以还要对\(a\)进行操作

令\(c = (x-y)\),为了方便表示我们\(swap(x,a) \ swap(y,b)\)

呢么我们本来要解的方程式是\(ax_0+by_0 = c\)

但是我们解的方程式是\(ax_1+by_1 = d\)

对于这个方程我们同乘\(\frac{c}{d}\)得\(ax_1\frac{c}{d}+by_1\frac{c}{d} = c\)

所以对于一组\((x_1,y_1)\)符合\(ax_1+by_1 = d\),则必有一组\((x_1\frac{c}{d},y_1\frac{c}{d})\)符合\(ax_0+by_0 = c\)

又因为如果\((x,y)\)是丢番图方程的一组解则\((x-\frac{b}{d} ,y+\frac{a}{d})\)也是一组解

所以如果我们知道\(x\)是一个正整数解，则最小就是让\(x\)不断地的减\(\frac{b}{d}\)这个过程就相当于取模\((x_1\frac{c}{d})\% \frac{b}{d}\)

在把x,y,a,b换回来，并代入数据得\(result = (a\times(\frac{x-y}{d}) \% (\frac{L}{d})+(\frac{L}{d}))\%(\frac{L}{d})\)

coding

#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;


LL x,y,n,m,l;


inline LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(a == 0)
    {
        x = 0,y = 1;
        return b;
    }
    register LL d = exgcd(b%a,a,y,x);
    x -= b / a * y;
    return d;
}


int main()
{
    LL a,b,d;
    cin >> x >> y >>  m >> n >> l;
    if(n < m) swap(m,n), swap(x,y);
    d = exgcd(n-m,l,a,b);
    if((x-y) % d || m == n) puts("Impossible");
    else cout << (a*(x-y) / d % (l/d) + (l/d)) % (l/d) << endl;
    return 0;
} 

题解 P1516 【青蛙的约会】

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Mark-X/p/11699442.html