标签：span 相交 元素 mamicode 一个 技术 strong 位置 特殊
听大佬们说了这么久Pólya定理，终于有时间把这个定理学习一下了。
置换（permutation）简单来说就是一个（全）排列，比如 \(1,2,3,4\) 的一个置换为 \(3,1,2,4\)。一般地，我们记 \(i\) 到 \(a_i(1<=i<=n)\) 的一个置换为
\[ \left ( \begin{matrix} 1 & 2 & \cdots & n \a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix} \right ) \]
可以发现，置换的本质是一一映射，所以我们可以将上面的置换简记为 \(f=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)，其中 \(f(i)=a_i(1<=i<=n)\)。从这种映射的角度来看，置换是可以复合的。如果 \(f=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\},g=\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}\)，我们称 \(fg=\{b_{a_1},b_{a_2},\cdots,b_{a_n}\}\) 为 \(f\) 和 \(g\) 的复合。它表示我们先将一个数 \(i\) 映射到 \(f(i)\)，再映射到 \(g(f(i))\)。比如，\(f=\{1,3,4,2\},g=\{3,2,1,4\}\)，则 \(fg=\{3,1,4,2\}\)，它表示 \(2\) 先映射到 \(f(2)=3\)，这个 \(3\) 再映射到 \(g(3)=1\)，所以总的来说，\(fg(2)=g(f(2))=1\)。
循环（permutation cycle）是一类特殊的置换，它表示一些元素有次序地交换位置。通常地，我们记置换\(\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\ a_2 & a_3 & \cdots & a_n & a_1\end{matrix}\right)\)的循环为 \((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)。与置换类似，循环也有乘积。我们常用循环的乘积来表示置换，如\(\left(\begin{matrix} 1 & 2 & \cdots & k & k+1 & \cdots & n \\ 2 & 3 & \cdots & 1 & k+2 & \cdots & k+1\end{matrix}\right) = (1,2,\cdots,k)(k+1,\cdots,n)\)。虽然置换乘法是不可交换的，但我们应当发现，对不相交的循环，不论用什么方式相乘，其结果总是一样的。
那么置换和Pólya定理有什么关系呢？我们通过一道题目来阐述。
题目（等价类计数问题）在 \(2\times 2\) 的方格中，我们将每个方格涂成黑白两色。如果允许旋转，一共会有多少种方案？
分析我们先考虑没有旋转的所有情况。有以下 \(16\) 种：
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原文地址：https://www.cnblogs.com/whx1003/p/11706358.html
