标签：转换 use 方案 黄色 利用 连接 外部 splay 应用
卡特兰数有一个很重要的意义就是：
\(C_n\)表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。
卡特兰数有两个通项公式，第一个是这样的：
\[
C_{n}=\frac{1}{n+1}\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {n}\end{array}\right)=\frac{(2 n) !}{(n+1) ! n !}
\]
第二个是这样的：
\[
C_{n}=\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {n}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {n+1}\end{array}\right) \quad \text { for } n \geq 1
\]
第一个公式就是把第二个公式拆开。
我们考虑证明第二个公式。证明的方式有很多，均和卡特兰数的性质有关，证明方法之间也可以互相转换。所以这里介绍一种最普通的证明方法。
根据定义，合法的路径不能越过对角线。那么我们考虑利用总方案数\(C_{2n}^n\)减去不合法的方案数。
这里的黄色线和绿色线连接而成的路径代表一条不合法的路径，我们把路径第一次超越对角线的点（点L）到终点（点A）的路径沿粉色线条（对角线向上平移1个单位得到）对称。得到了蓝色的路径。显然，这里的黄色路径和蓝色路径是对应的。
容易证明，所有不合法的路径和所有从原点到A‘点的路径都是一一对应的。所以不合法的路径条数就是从原点到A‘的路径条数\(C_{2n}^{n-1}\)
这样就得出了前面提到的卡特兰数第二个通项公式：
\[ C_{n}=\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {n}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{2 n} \\ {n+1}\end{array}\right) \quad \text { for } n \geq 1 \]
组合数学中有非常多的组合结构可以用卡塔兰数来计数。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/GavinZheng/p/11706690.html
