标签:出现 树的高度 试题 style fir 空间复杂度 常见 需要 有一个
斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368......
我记得在初学C语言的时候,大学老师经常会讲一些常见的数学问题及递归的使用,其中斐波那契数列就是一定会被拿出来举例的。在后来工作中,面试做面试题的时候,也很大概率会出现编写算法实现斐波那契额数列求值。可以说,在我们编程道路上,编写算法实现斐波那契数列是每个程序员必定会做的一件事。昨天去参加腾讯课堂举办的一个线下活动,活动中有一位嘉宾,是某课堂的创始人,也是算法课程的讲师,就讲到了这个问题,算是颠覆了我对该问题的认知。本文就根据这名讲师的讲解,来分析和整理一下该问题算法的实现。
下面,我们来看看其中几种常见的算法,并分析其效率。
1、递归法
通过观察,我们会发现其中的规律,第一项和第二项的值均为1,后面每项的值都是前两项值之和,所以我们很多人基本上都会使用递归来实现,常见的算法如下:
1 public int fib(int n) { 2 if (n == 1 || n == 2) { 3 return 1; 4 } 5 return fib(n - 2) + fib(n - 1); 6 }
这段代码看起来非常的简洁和优雅,我想我们绝大多数的人平时也都是这么写的吧,在此之前笔者就一直都是这么写的,而且在我的知识储备中也就只知道有这样一种算法。
实际上,当n还比较小的时候,用递归法来实现是没有什么问题的,但是当n稍微大一点的时候,比如n=45的时候,我们通过如下测试代码来看看它的执行结果:
1 MyClass myClass = new MyClass(); 2 long t1 = System.currentTimeMillis(); 3 int n = 45; 4 int result = myClass.fib(n); 5 long t2 = System.currentTimeMillis(); 6 System.out.println("n=" + n + ";result=" + result + ";time=" + (t2 - t1));
得到结果为:
n=45;result=1134903170;time=2881
我们发现执行这段代码,花费的时间是2881ms。如果值再大一点,如n=48:
n=48;result=512559680;time=11746
时间达到了11s以上了!如果n再稍微大一点,所消耗的时间是成指数级增长的,比如n=64的时候,所消耗的时间可能是两三百年!不信的话,读者可以试试!
这样看来,就非常可怕了,我们一直认为毫无问题的看起来既简洁又优雅的算法,居然是这么耗时的,这简直就是一段垃圾代码。
我们用一张图来简单分析一下该算法的执行过程,以n=6为例:
我们会发现f(n)这个方法被调用了很多次,而且其中重复率非常之高,也就是说被重复计算了很多次,如果n稍微大一点这棵树会非常庞大。这里我们可以看出,每个节点就需要计算一次,总计算的次数就是该二叉树节点的数量,可见其时间复杂度为O(2n),是指数级的,其空间复杂度也就是该二叉树的高度,为O(n)。这样来看,我们应该就清楚了,为什么这段代码效率如此低下了吧。
2、数组保存法(该名称是自己命令的)
为了避免无数次重复,可以从n=1开始往上计算,并把每一个计算出来的数据,用一个数组保存,需要最终值时直接从数组中取即可,算法如下:
1 public int fib(int n) { 2 int[] fib = new int[n]; 3 fib[0] = 1; 4 fib[1] = 1; 5 for (int i = 2; i < n; i++) { 6 fib[i] = fib[i - 2] + fib[i - 1]; 7 } 8 return fib[n - 1]; 9 }
我们也分别取n=45和n=48来看看执行结果
n=45;result=1134903170;time=0
n=48;result=512559680;time=0
消耗的时间都是0(我这里获取的时间是精确到ms级别的,前后的时间差在1ms以下,所以这里计算出来的结果为0,实际耗时不可能为0,后续不赘述),可见执行效率提高了很多。这种算法主要有一个for循环,其时间复杂度为O(n),期间需要开辟一个长度为n的数组,所以空间复杂度也为O(n),这就在上述算法的基础上极大地提升了效率。
3、变量保存法(也是自己命名的)
尽管上述算法已经很高效了,但我们还是会发现一个问题,其实整个数组中,每次计算时都只需要最新的3个值,前面的值计算完后就不再需要了。比如,计算到第10次时,需要的数组空间只有第8和第9两个空间,前面第1到第7个空间其实就不再需要了。所以我们还可以改进,通过3个变量来存储数据,算法如下:
1 public int fib(int n) { 2 int first = 1; 3 int second = 1; 4 int third = 2; 5 for (int i = 3; i <= n; i++) { 6 third = first + second; 7 first = second; 8 second = third; 9 } 10 return third; 11 }
时间复杂度仍然为O(n),而空间复杂度为常量级别3,即空间复杂度为0,所以这种方法是非常高效的。
4、公式法
实际上,求斐波那契数列值有一个公式:
可以通过该公式来实现算法:
1 public int fib(int n) { 2 double c = Math.sqrt(5); 3 return (int) ((Math.pow((1 + c) / 2, n) - Math.pow((1 - c) / 2, n)) / c); 4 }
其时间复杂度和空间复杂度就取决于JDK中这些数学公式的实现了,执行效率也是非常高的:
n=48;result=512559680;time=0
通过上面的分析,我们在写算法实现斐波那契数列时,可以根据实际情况选择第3种和第4种。
如果读者发现本文有描述不正确或者不妥的地方,请不吝赐教,非常感谢!
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原文地址:https://www.cnblogs.com/andy-songwei/p/11707142.html