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https://www.luogu.org/problem/P3343
一个几乎显然的暴力做法，枚举每一条边的大小关系，跑$Kruskal$，算出最长的边是第几小的，然后利用“对于$n$个$[0..1]$之间的随机变量$x_1,x_2,...,x_n$，第$k$小的那个的期望值是$\frac{k}{n+1}$”的结论就可以知道这种情况下的时间期望是多少。（虽然这个方法也不是我自己想出来的），这个做法也照应了题面中“当然幽香会先使用一个更加神奇的大魔法来观察出每条边e_i的值，然后再选择完成时间最小的方案”这句话，即当知道$e_i$分布的情况后，就可以跑$Kruskal$算最小生成树。可以说这句话是对题解有暗示作用的。
其实这道题很难，自己看了很多篇题解都没有看懂，最后看了https://blog.csdn.net/qq_41357771/article/details/88732154才搞懂，发现简洁的题解最适合我（我宁愿看简洁但是说不清楚的题解，也不愿看冗杂但讲的很清楚的题解）。想起去年在$qbxt$写过另外一道题，好像叫苹果树，是$P$大的李昊出的（$orz\ lhz$），和这道题思路类似。记得当时就没有弄懂。
总结一下这几天刚概率期望的经验，总是把概率期望当成计数问题做，用合法方案除以总方案数，这样思考的方程也更严谨一些，因为如果一步就直接写关于概率/期望的方程就全凭感觉了。（尤其是总方案数显然的题，比如随机数生成器）
对于要取膜的题而言，可以把方案无损转化成概率期望。对于这样只要求一个笼统的数字的题，当数据范围很大时，精度是不够的，要求直接写出概率/期望的式子，还有一种可能是高斯消元和矩阵快速幂（概率即期望），尤其是在$n \le 500$时。
另一个很好的思路是期望转概率，这个思路最初是$aysn$告诉我的，最后把期望化成几个概率的合式，这几道题应该都是这样。
如果只从期望的角度考虑的话，可能利用到期望的线性性，然后考虑贡献（某$CF$题）。
回到这道题。
这个方法自然是对暴力的优化。
令$f[i][s]$为考虑了前$i$条边，$s$集合里面的元素联通的方案数。
令$g[i][s]$为考虑了前$i$条边，$s$集合里面的元素不联通的方案数。
显然，有$$f[i][s]+g[i][s]=C_{cnt[s]}^{i}$$
你可能会问，前$i$条是哪$i$条，事实上，既然是对暴力算法的优化，前$i$条就是权值最小的$i$条边，我们并不知道是哪$i$条，并且我们也不需要知道，因为已经知道了这个联通块的状态，答案只取决于最后加进去的一条边，冗余的边显然是没有贡献的，所以我们不需要知道。我们可以把它理解成任意$i$条边，进一步，更神奇的，转移的时候，我们也不需要枚举当前的边是哪一条，但是它一定是$s$集合中元素与元素间的。
对于转移的情况，有
$$g[i][s]=\sum_{s0 \subset s,0\le k<i}{f[k][s0]\cdot C_{cnt[s\oplus s0]}^{i-k}}$$
我们可以这么理解，就是我们让一个子集一定联通，然后另一部分只能互相联通，即两部分之间一定不连通。
但是这样写很$fake$，因为会多情况，所以我们强制选一个点$x$（随机的，当年，李昊老师说直接选$1$号点），让$x \in s0$，且让$x \in s\oplus s0$，就可以做到不重不漏了。
其实这一步我也不知道是为什么，但已经不是第一次见了，所以就当做一个定理吧。
算答案已经是老生常谈了，但是这个和其他的题不一样，直接用$g[i][U]$算，即答案$>i$的所有方案数之和，这样的话，我们连乘$i$都不需要了，直接把他们都加起来就好了。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/shxnb666/p/11707631.html
