图匹配问题中的几个定理

标签：情况   匹配   完全   概念   存在   去除   not   个数   完美   

概念：

• 奇连通分支：图$G$中含有奇数个点的连通分支，记$\circ (G)$为奇连通分支的个数
• $Tutte$条件：$\forall S \subseteq V(G)$，有$\circ (G-S) \le \vert S \vert$

$Tutte$定理：图$G$存在完美匹配$\iff$满足$Tutte$条件

• 充分性：设图$G$在去除$S$后，被割裂为$\circ (G)$个奇连通分支与一些偶连通分支，而每一个奇连通分支不可能存在内部的完美匹配，即必至少存在$S$内的一个点与该分支  内的点相连作为该匹配中的某条边，故满足$Tutte$条件.
• 必要性：由任意性，可先令$S=\varnothing$，则$\circ (G-S)=\circ (G)\le \vert S \vert =\vert\varnothing\vert=0$，即$\vert V(G)\vert$为偶数。若此时$G$是完全图，则必然存在完美匹配；若$G$不是完全图，则令$G‘=G+e$（但不允许另加顶点），由于$\forall S \subseteq V(G‘)=V(G)$，有$\circ (G‘-S) \le \circ (G-S) \le \vert S \vert$，故$G’$还满足$Tutte$条件，由此可用反证法：设$G$为满足$Tutte$条件但没有完美匹配的边数尽可能多的图（此处指在$G$中任意再加一条边则会有完美匹配）。情况一：

图匹配问题中的几个定理

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