标签：符号 证明 tran art form 情况下 amp 自变量 over
设\(f(x)\)是周期为\(l\)的周期函数,若
\[ f(x)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}l+b_n\sin \frac{n\pi x}l),\a_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos \frac{n\pi x}l\mathrm dx,(n=0,1,2,\dots)\b_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin \frac{n\pi x}l\mathrm dx.(n=1,2,\dots) \]
记\(\omega=\frac{\pi}l\),引进复数形式:
\[ \cos n\omega x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}+\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}2,\sin n\omega x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}-\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}{2\mathrm i} \]
级数化为
\[ \begin{align} f(x)&\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}+\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}2+b_n\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}-\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}{2\mathrm i})\&=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_n-\mathrm ib_n}2\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}+\frac{a_n+\mathrm ib_n}2\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}) \end{align} \]
令\(c_0=\frac{a_0}2,c_n=\frac{a_n-\mathrm ib_n}2,d_n=\frac{a_n+\mathrm ib_n}2\),则
\[ \begin{align} c_0&=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm dx,\c_n&=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\left(\cos n\omega x-\mathrm i\sin n\omega x\right)\mathrm dx=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}\mathrm dx,\d_n&=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\left(\cos n\omega x+\mathrm i\sin n\omega x\right)\mathrm dx=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}\mathrm dx\&\triangleq c_{-n}=\bar{c_n},(n=1,2,\dots) \end{align} \]
合并为
\[ c_n=\frac{1}{2l}=\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}\mathrm dx,(n\in \Z) \]
级数化为
\[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}=\frac{1}{2l}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}\mathrm dx\right]\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x} \]
我们称\(c_n\)为\(f(x)\)的离散频谱(discrete spectrum),\(|c_n|\)为\(f(x)\)的离散振幅频谱(discrete amplitude spectrum),\(\arg c_n\)为\(f(x)\)的离散相位频谱(discrete phase spectrum).
对任何一个非周期函数\(f(t)\)都可以看成是由某个由某个周期为\(l\)的函数\(f(x)\)当\(l\to\infty\)时得来的.
设\(f_T(t)\)是周期为\(T\)的周期函数,在\([-\frac T2,\frac T2]\)上满足狄利克雷条件,则
\[ f_T(t)=\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t},\omega=\frac{2\pi}T \]
(上式中\(\mathrm j\)是虚数单位,在傅里叶分析中我们不用\(\mathrm i\)而通常记作\(\mathrm j\))由\(\lim\limits_{T\to\infty}f_T(t)=f(t)\)知,
\[ f(t)=\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t} \]
记\(\Delta \omega=\frac{2\pi}T\),则\(\Delta\omega\to 0\Leftrightarrow T\to\infty\),则
\[ \begin{align} f(t)&=\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t}\&=\lim_{\Delta \omega\to 0}\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm jn\omega t}\Delta\omega \end{align} \]
令\(F_T(n\omega)=\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt\),则
\[ f(t)=\lim_{\Delta\omega\to 0}\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_T(n\omega)\mathrm{e}^{\mathrm jn\omega t}\Delta\omega,\F_T(t)\to \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\triangleq F(\omega)(T\to\infty), \]
由定积分定义\(f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm d\omega\),即
\[ \boxed{f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega} \]
上述公式称为傅里叶积分公式.
若\(f(t)\)在任何有限区间上满足狄利克雷条件,且在\(\R\)上绝对可积,则
\[ \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega= \begin{cases} f(t),t\text{为连续点},\\frac{f(t^-)+f(t^+)}2,t\text{为间断点}. \end{cases} \]
设\(f(t)\)满足傅里叶积分存在定理,定义
\[ F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt \]
为\(f(t)\)的傅里叶变换(Fourier Transform)(实际上是一个实自变量的复值函数),记作
\[ F(\omega)=\mathcal{F}\left[f(t)\right] \]
类似地,定义
\[ f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega \]
为\(F(\omega)\)的傅里叶逆变换(Inverse Fourier Transform),记作
\[ f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right] \]
在一定条件下,有
\[ \mathcal{F}\left[f(t)\right]=F(\omega)\Rightarrow\mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right]=f(t);\\mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right]=f(t)\Rightarrow\mathcal{F}\left[f(t)\right]=F(\omega). \]
\(f(t)\)与\(F(\omega)\)在傅氏变换意义下是一个一一对应,称\(f(t)\)与\(F(\omega)\)构成一个傅氏变换对,记作
\[ f(t)\overset{\underset{\mathcal{F}}{}}{\leftrightarrow}F(\omega) \]
在不引起混淆的情况下,简记为\(f(t)\leftrightarrow F(\omega)\).\(f(t)\)称为原象函数(original image function),\(F(\omega)\)称为象函数(image function).
在频谱分析中,\(F(\omega)\)又称为\(f(t)\)的频谱(密度)函数(spectrum function),\(|F(\omega)|\)称为\(f(t)\)的振幅频谱(amplitude spectrum),\(\arg F(\omega)\)称为\(f(t)\)的相位频谱(phase spectrum).
下面我们来求几个常见信号函数的傅氏变换.
例1 求矩形脉冲函数(rectangular pulse function)
\[ R(t)=\begin{cases} 1,|t|\le 1,\0,|t|>1 \end{cases} \]
的傅氏变换及其频谱积分表达式.
解:
\[ \begin{align} F(\omega)&=\mathcal{F}[R(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}R(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt=\int_{-1}^1 R(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm t\&=\left[\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}}{-\mathrm j\omega}\right]^1_{-1}\&=-\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega}-\mathrm{e}^{\mathrm j\omega}}{\mathrm j\omega}=\frac{2\sin\omega}{\omega};\R(t)&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega=\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}F(\omega)\cos\omega t\mathrm d\omega\&=\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{2\sin\omega}\omega\cos\omega t\mathrm d\omega=\frac2{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{\sin\omega\cos\omega t}{\omega}\mathrm d\omega\&=\begin{cases} 1,|t|<1,\\frac12,|t|=1,\0,|t|>1 \end{cases} \end{align} \]
因此可知,当\(t=0\)时,有
\[ \int_0^{+\infty}\frac{\sin t}x\mathrm dt=\frac{\pi}2 \]
例2 求指数衰减函数(exponential decay function)
\[ E(t)=\begin{cases} 0,t<0,\\mathrm{e}^{-\beta t},t\ge 0 \end{cases} \]
的傅氏变换及其频谱积分表达式,其中\(\beta>0\)为常数.
解:
\[ \begin{align} F(\omega)&=\mathcal{F}[E(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}E(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm dt\&=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-\beta t}\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{(\beta+\mathrm j\omega)t}\mathrm dt=\frac1{\beta+\mathrm j\omega}\frac{\beta-\mathrm j\omega}{\beta^2+\omega^2}\E(t)&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm \omega=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\beta-\mathrm j\omega}{\beta^2+\omega^2}\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm \omega\&=\frac1{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{\beta\cos\omega t+\omega\sin\omega t}{\beta^2+\omega^2}\mathrm d\omega=\begin{cases} 0,t<0,\\frac12,t=0,\\mathrm{e}^{-\beta t},t>0 \end{cases} \end{align} \]
我们记电流脉冲函数
\[ q(t)=\begin{cases} 0,t\ne 0,\1,t=0, \end{cases} \]
严格地,由于\(q(t)\)在\(t=0\)出不连续,所以\(q(t)\)在\(t=0\)点是不可导的.但是,如果我们形式地计算这个导数,有
\[ q'(0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{q(0+\Delta t)-q(0)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}-\frac1{\Delta t}=\infty \]
我们引进这样一个函数,称为单位脉冲函数(unit pulse function)或狄拉克(Dirac)函数,简记为\(\delta-\)函数,即
\[ \delta(t)=\begin{cases} 0,t\ne 0,\\infty,t=0, \end{cases} \]
一般地,给定一个函数序列
\[ \delta_{\varepsilon}(t)=\begin{cases} 0,t<0,\\frac1{\varepsilon},0\le t\le \varepsilon,\0,t>\varepsilon \end{cases} \]
则有
\[ \delta(t)=\lim_{\varepsilon\to 0}\delta_{\varepsilon}(t)=\begin{cases} 0,t\ne 0,\\infty,t=0 \end{cases} \]
于是
\[ \boxed{ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm dt=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\varepsilon}\mathrm dt=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{0}^{\varepsilon}\frac1{\varepsilon}\mathrm dt=1 } \]
若设\(f(t)\)为连续函数,则\(\delta-\)函数有以下性质:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)\mathrm dt=f(0);\\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)\mathrm dt=f(t_0) \]
于是我们可得:
\[ \mathcal{F}[\delta(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm t=\left.\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\right|_{t=0}=1 \]
于是\(\delta(t)\)与常数\(1\)构成了一对傅里叶变换对.
例3: 证明:
\[ \mathrm{e}^{\mathrm j\omega_0 t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0) \]
其中\(\omega_0\)是常数.
证:
\[ \begin{align} f(t)&=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0)\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\&=\left.\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\right|_{\omega=\omega_0}=\mathrm{e}^{\mathrm j\omega_0 t} \end{align} \]
在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|\mathrm dt<\infty \]
例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,原象函数\(f(t)\)和象函数\(F(\omega)\)构成一个傅氏变换对.
例 求正弦函数\(f(t)=\sin\omega_0 t\)的傅氏变换.
解:
\[ \begin{align} F(\omega)&=\mathcal F[f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm dt\&=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{\mathrm{e}^{\mathrm j\omega_0} t-\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega_0 t}}{2\mathrm j}\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\&=\frac1{2\mathrm j}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm j(\omega-\omega_0)t}-\mathrm{e}^{-\mathrm j(\omega+\omega_0)t}\right)\mathrm dt\&=\mathrm{j}\pi\left[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)\right] \end{align} \]
同样我们易得
\[ \mathcal{F}(\cos \omega_0 t)=\pi\left[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)\right] \]
例 证明:单位阶跃函数(unit step function)
\[ u(t)=\begin{cases} 0,t<0,\1,t>0 \end{cases} \]
的傅氏变换为
\[ \mathcal F[u(t)]=\frac1{\mathrm j\omega}+\pi \delta(\omega) \]
证:
\[ \begin{align} \mathcal{F}^{-1}\left[\frac1{\mathrm j\omega}+\pi \delta(\omega)\right]&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac1{\mathrm j\omega}+\pi\delta(\omega)\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\pi\delta(\omega)\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega+\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac1{\mathrm j\omega}\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\&=\frac12+\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{\cos\omega t+\mathrm j\sin\omega t}{\mathrm j\omega}\right]\mathrm d\omega\&=\frac12+\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{\sin\omega t}{\omega}\right]\mathrm d\omega=\frac12+\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}\left[\frac{\sin\omega t}{\omega}\right]\mathrm d\omega\\int_0^{+\infty}\frac{\sin \omega t}{\omega }\mathrm d\omega&=\begin{cases} \frac{\pi}2,t>0,\-\frac{\pi}2,t<0 \end{cases}\Rightarrow\\mathcal{F}^{-1}\left[\frac1{\mathrm j\omega}+\pi\delta(\omega)\right]&=\begin{cases} \frac12+\frac1{\pi}\left(-\frac{\pi}2\right)=0,t<0\\frac12,t=0,\\frac12+\frac1{\pi}\left(\frac{\pi}2\right)=1,t>0 \end{cases}=u(t). \end{align} \]
标签：符号 证明 tran art form 情况下 amp 自变量 over
原文地址：https://www.cnblogs.com/Anverking/p/math-fourt.html
