标签：因此 最大值 style 描述 复杂度 大于 它的 记录 就是
7-2 最大子段和
给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整数均为负数时，定义子段和为0。
要求算法的时间复杂度为O(n)。
由于要求时间复杂度是O(n)，因此递归的方法被砍，只能另外谋求生计
当时间复杂度为O(n)，第一反应是用一个for循环，但是如何能只用一个for循环得出结果呢？
自然想到在循环遍历的时候将当前最优解存起来，最后进行一个比较，选择最好的那个解
于是就用到动态规划法来解决问题。
算法的核心在于递归方程
MaxSum[i] = ele[i] i=0 MaxSUm[i] = max{ele[i], ele[i] + MaxSum[i - 1]} 0 < i < n
因此着重讲解递归方程的求得过程
首先对原输出和辅助记录空间进行定义
ele[i]:序列的第i - 1个元素，i从0开始（数组下标） MaxSum[i]:从ele[0]，以ele[i]为尾数的最大子段和（可能不包括ele[0],ele[1]....ele[i - 1]）
然后我们分析最开始的情况，从第一个数开始
第一个数有两种情况，小于等于或0大于0。若小于等于0，则最大子段和必不包括它，因为它是第一个数。如果是大于0，则最大子段和有可能包括它。
然后到第二个数，先不管第二个数的正负，根据上一条，如果第一个数ele[0]大于0，那么序列{ele[0],ele[1]}对应的MaxSum[1]=ele[0]+ele[1]；如果ele[0]小于0，对应的MaxSum[1]=ele[1]，及最大子段和为本身，因为前面只有一个数还小于0，所以必不要它
再看第三个数，在这时候我们将前面的所有数，不管有多少个（现在是两个），都抽象成“前面的数”，它的值为MaxSum[i-1]。那么我们的第三个数就会变成“前面的数”的后面那个数，也就变成了“第二个数”。那么根据上面第二个数的判断，如果“前面的数”小于0，那么“前面的数”都不要了，其最大子段和为本身；反之，最大子段和为“前面的数”加上本身。
也就是说，当前我们看第i个数ele[i]，这个数之前的最大子段和为MaxSum[i - 1]，如果MaxSum[i - 1] < 0，那么以ele[i]为尾数的最大子段和MaxSum[i]必为ele[i]，否则，其为
为统一，我们将第一个数的最大子段和定义为其本身，即：
MaxSum[0] = ele[0]
注意，这里有个坑，就是以ele[i]结尾的序列，他的最大子段和不一定包括ele[i]。很多在上面的推导过程中都发现了，序列{ele[0],ele[1]}的最大序列可以是ele[0]（ele[0]>0, ele[1] < 0）。 而我们MaxSum存的是以ele[i]为尾数的最大子段和，因此MaxSum的最后一个数MaxSum[n]并非最终答案。序列{ele[0],ele[1]...ele[n]}的最大子段和可能为{ele[i],ele[i+1]...ele[j]}（0<i<j<n），那么最终答案应该是MaxSum[j]。
因此我们需要额外一个变量来存放MaxSum中的最大值（当然你也可以得到MaxSum后遍历找最大）。
时间复杂度
T(n) = O(n)
空间复杂度
S(n) = O(n)
感觉动态规划是分治法的进阶版本，基本都用到了一个表作为辅助，避免了一个问题重复计算，节省了许多资源。当然，感觉想要好好利用好动态规划，要弄清楚的、很重要的一点，就是如何填表。填表的方式有很多，是从右上往左下，还是别的，以及要弄清楚，作为辅助表，应该怎样和存储数据的表关联在一起，弄清楚两者的关系，弄清楚这个表里存的数据是什么，有什么用，最终要输出什么，才是最重要的。
当然，动态规划，在弄清楚表的作用之后，就要弄清楚，如何写递归方程，在写好递归方程之后，代码就能很迅速的写出来，同时能保证较高的正确率，在打题时基本都能一次性通过。
标签：因此 最大值 style 描述 复杂度 大于 它的 记录 就是
原文地址：https://www.cnblogs.com/smallsprings/p/11717232.html
