$Luogu$ $P3802$ 小魔女帕琪

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背景

\(orangebird\) ， \(Luogu\) \(P3802\)

题意

给定 \(7\) 种技能的数量 \(a_i(i \ in [1,7])\) ，规定连续使用 \(7\) 种不同技能后会构成一个必杀，所有必杀互不冲突（即某个位置的某个技能可以在多个不同的必杀技中）。求使用完所有技能后构成必杀的期望次数。

解法

本来是要作为练习题的，观察了很久也没有什么好的做法。无奈看了题解。显然前 \(6\) 次使用技能都是无法构成必杀技的。一个重要结论是从第 \(7\) 次使用技能开始，所有位置构成必杀的概率相等。
一个并不那么简要的证明：
先设 \(\sum_\limits{i \in [1,7]} a_i=n\) 。
不妨先算出第 \(7\) 次使用技能时构成必杀的概率 \(P_7\) 。先随机一种出技能的序列，就假设为 $ {1,2,3,4,5,6,7 }$ ，那么此时的概率为 $ \frac{a_1}{n} \times \frac{a_2}{n-1} \times \frac{a_3}{n-2} \times \frac{a_4}{n-3} \times \frac{a_5}{n-4} \times \frac{a_6}{n-5} \times \frac{a_7}{n-6} $ 。那么换一种排列的概率呢？假设为 $ {2,1,4,7,6,3,5 }$ ，那么此时的概率为 $ \frac{a_2}{n} \times \frac{a_1}{n-1} \times \frac{a_4}{n-2} \times \frac{a_7}{n-3} \times \frac{a_6}{n-4} \times \frac{a_3}{n-5} \times \frac{a_5}{n-6} $ 。将式子通分后不难发现两种排列的概率是相等的。因此我们根本不关心排列的顺序，所有的概率都是 $ \frac{\prod_\limits{i \in [1,7]}a_i}{\prod_\limits{i \in [0,6]}(n-i)} $ 。
因此， $P_7=7! \times \frac{\prod_\limits{i \in [1,7]}a_i}{\prod_\limits{i \in [0,6]}(n-i)} $ 。
那么，接下来就考虑 \(P_8\) 为多少。由于所有必杀互不冲突，则第 \(8\) 次使用技能时能构成必杀一定是由第 \(2\) 次使用技能开始的一个 \(7\) 阶技能排列构成的。那么，首位的元素就可以随机选择。
当首位为 \(1\) 技能时，构成必杀的概率为 $ \frac{a_1}{n} \times 7! \times \frac{a_1-1}{n-1} \times \frac{a_2}{n-2} \times \frac{a_3}{n-3} \times \frac{a_4}{n-4} \times \frac{a_5}{n-5} \times \frac{a_6}{n-6} \times \frac{a_7}{n-7} $ ，同理，当首位为 \(i(i \in [1,7])\) 技能时，构成必杀的概率为 $ \frac{a_i}{n} \times 7! \times \frac{a_1-[i==1]}{n-1} \times \frac{a_2-[i==2]}{n-2} \times \frac{a_3-[i==3]}{n-3} \times \frac{a_4-[i==4]}{n-4} \times \frac{a_5-[i==5]}{n-5} \times \frac{a_6-[i==6]}{n-6} \times \frac{a_7-[i==7]}{n-7} $ ，因此 \(P_8=\sum_\limits{i \in [1,7]} \{ \frac{a_i}{n} \times 7! \times \frac{a_1-[i==1]}{n-1} \times \frac{a_2-[i==2]}{n-2} \times \frac{a_3-[i==3]}{n-3} \times \frac{a_4-[i==4]}{n-4} \times \frac{a_5-[i==5]}{n-5} \times \frac{a_6-[i==6]}{n-6} \times \frac{a_7-[i==7]}{n-7} \}=\frac{7! \times \prod_\limits{i \in [1,7]}a_i \times (\sum_\limits{i \in [1,7]} a_i-7)}{\prod_\limits{i \in [0,7]} (n-i)}=\frac{7! \times \prod_\limits{i \in [1,7]}a_i}{\prod_\limits{i \in [0,6]} (n-i)}=P_7\) ，使用第 \(i(i \in [7,n])\) 次技能时同理，命题得证。
由于每个“第 \(i(i \in [7,n])\) 次使用技能时构成必杀”这样的随机事件都仅能发生一次，因此答案就是 $\prod_\limits{i \in [7,n]} P_i=(n-6) \times 7! \times \frac{\prod_\limits{i \in [1,7]}a_i}{\prod_\limits{i \in [0,6]}(n-i)} $ ， \(O(7)\) 计算即可。

细节

请注意前 \(6\) 次使用技能都是无法构成必杀技的。若 \(n<7\) ，则答案显然为 \(0.000\) 而非 \(-0.000\) 。

代码

$Luogu$ $P3802$ 小魔女帕琪

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Peter0701/p/11745265.html