线性基

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uoj 91 最大异或和

要求:维护一个线性基，每次加入一个元素，替换掉最先加入的一个与它 线性相关的 仍然存在的 元素。

考虑现在的线性基中元素为\(b_i\)，每次加入的元素为\(a_i\)

\(b_1\) \((b_1=a_{k1}　xor　a_{k2}　xor　a_{k3}....)\)

\(b_2\) \((b_2=a_{h1}　xor　a_{h2}　xor　a_{h3}....)\)

\(b_3\) \((b_1=a_{g1}　xor　a_{g2}　xor　a_{g3}....)\)

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我们考虑形式化要求:即每次加入一个\(x\) :

1.若x与当前线性基中元素线性无关，直接加入即可；

2.否则，找到 \(x　xor　a_{k1}　xor　ａ_{k2}　xor　a_{k3}....=0\) ，将出现时间最靠前的\(a_k\)替换掉

定义

每一个\(b_i\)可以由许多\(a_k\)异或表示，我们定义$ id_i\(为组成\)b_i\(的\)a_k$中出现时间最小的时间

维护

我们现在维护一个线性基，满足对于线性基中每一个元素\(i\)，\(id_i\)都不同。

每一次我们将所有的 \(x　xor　b_{k1}　xor　b_{k2}　xor　b_{k3}....=0\)，找出来

从高位到低位逐位替换，则时间最靠前的\(a_k\)一定是最小的\(id_k\) ，我们只要将\(b_k\)中\(id_k\)最小的替换掉就行了。

我们考虑当前位为\(b_i\) ，如果我们要加入x，可以:

1.将\(x　xor　b_i\) 向下递归;

2.将\(b_i\)替换成\(x\)(\(id_i\)也替换) ，将\(x　xor　b_i\) 向下递归；

如果进行1操作，向下递归的\(x　xor　b_i\) 的\(id\)值将会改成\(id_i\) ，可我们要求每个\(b_i\)的\(id\)值不同，所以1操作不符合要求。

考虑进行2操作，向下递归的\(x　xor　b_i\) 的\(id\)值将会改成\(id_i\) ，而原\(b_i\)上的数也\(x\)替换(\(id_i\)也被替换)，符合要求。

总结一下(代码实现)

每一次加入元素\(x\) (x的\(id\) 定义为\(id_x\))，找到当前最高位的与\(x\)有关的\(b_i\) :

1.若\(id_x<id_i\) ，将$x　xor　b_i $向下递归。

2.若\(id_x>id_i\) ，将\(b_i\)替换成\(x\)(\(id_i\)也替换为\(id_x\)) ，将$x　xor　b_i \((\)id_x$为原来的 \(id_i\) )向下递归。

直到找到一个空位置，将\(x\)插入，等同于插入操作；或\(x\)异或成0，相当于替换操作

线性基

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原文地址：https://www.cnblogs.com/zhongzero/p/11788624.html