[Noip2018]填数游戏

传送门

Description

耳熟能详，就不多说了

Solution

对于一个不会推式子的蒟蒻，如何在考场优雅地通过此题

1. 手玩样例，发现对于 \(n=1\) ， \(ans=2^m\) 。对于 \(n=2\) ， \(ans=4\times 3^{m-1}\) 。或者干脆打出 \(n,m\le 3\) 的表

2. 肉眼观察法，发现似乎有 \(f(n,m+1)=3f(n,m)\)，但这并不是正确的，但如果你仅仅是这么认为了，你仍然能够获得很多分数

3. 想结论，都是特别特别显然的那种：

• \(f(n,m)=f(m,n)\) ，因而只要考虑 \(n\le m\) 的情况

• 因为每步向右或向下，所以可按照步骤，把图分成一条条从左下到右上的斜线，对于单个格子进行考虑，发现每条斜线上的数单调不增（所以呢，你就可以通过枚举每条斜线在哪个位置开始变为\(0\)就可以了，简单打表）

• 为了检验图的正确性，我们还需要发掘合法填数方式的更多性质：

  考虑怎样造成不合法，存在两条路径，它们在某个位置不合法了，那么它们之前路径对应的01串相同，且上一个位置相同，在不合法的这一步中，大的路径走了 \(0\) ，小的路径走了 \(1\) 。

  这启发我们，对于一张合法的图，如果某个点，存在两条到达它的路径对应相同的01串，那么它的后继相同，我们令这样的点叫\(A\)点，一个点是\(A\)点当且仅当它的前驱中有A点或者它的前驱的数相同

1. 有了这么多的性质，我们发现其实可以打表拿很多分了，于是开始愉快地搜索，按照斜线一条条地搜，边搜边更新当前图的点中\(A\)类的点，同时，每条斜线上只有 \(0\) 和 \(1\) 的交界处可能导致不合法，判断一下它的上一个点是否是\(A\)类点就可以了
2. 打出表了，发现结论 \(f(n,m+1)=3f(n,m),m>n\) ！于是就很开心地过了
3. 这个搜索是真的快，极限数据 \(n=8,m=9\) 都能在 \(0.6s\) 内过去，所以就连表都懒得打了，直接暴力就行了

Code?

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define reg register
using namespace std;
#define dbg1(x) cerr<<#x<<'='<<(x)<<' '
#define dbg2(x) cerr<<#x<<'='<<(x)<<'\n'
#define dbg3(x) cerr<<#x<<'\n'
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int P=1e9+7;
int Add(int x,int y){return (x+y)%P;}
int Mul(int x,int y){return (1ll*x*y)%P;}
int fp(int x,int y){int r=1;if(y>0)for(;y;y>>=1,x=Mul(x,x))if(y&1)r=Mul(r,x);return r;}
int n,m;ll ans=0;
int Nm[20],X[20][20],Y[20][20];
bool mk[10][10],mp[10][10];
inline void getmk(int now)
{
    int i,j;
    for(i=X[now][1],j=Y[now][1];i&&j<=m;--i,++j)
        if(i>1&&j>1)mk[i][j]=(mk[i-1][j]|mk[i][j-1]|(mp[i][j-1]==mp[i-1][j]));
}
void dfs(int now)
{
    int i,j,p=Nm[now];getmk(now-1);
    for(i=0;i<=p;++i)
    {
        if(i)mp[X[now][i]][Y[now][i]]=true;
        if((i==0||i==p)||(i>0&&i<p&&!mk[X[now][i]-1][Y[now][i]]))
            if(now+1==n+m)++ans;else dfs(now+1);
    }
    for(i=1;i<=p;++i)mp[X[now][i]][Y[now][i]]=0;
}
int main()
{
    freopen("game.in","r",stdin);
    freopen("game.out","w",stdout);
    n=read();m=read();
    if(n>m)swap(n,m);
    if(n==1)return 0*printf("%d\n",fp(2,m));
    int c=max(0,min(m-n,m-n-1));m-=c;
    reg int i,j;
    for(i=1;i<=n;++i)Nm[i]=i;
    for(i=n+1;i<m;++i)Nm[i]=n;
    for(i=m;i<n+m;++i)Nm[i]=n+m-i;
    for(i=1;i<=n;++i)X[i][1]=i,Y[i][1]=1;
    for(i=n+1;i<n+m;++i)X[i][1]=n,Y[i][1]=i-n+1;
    for(i=1;i<n+m;++i)for(j=2;j<=Nm[i];++j)X[i][j]=X[i][j-1]-1,Y[i][j]=Y[i][j-1]+1;
    dfs(1);printf("%lld\n",Mul(ans,fp(3,c)));
}

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