每日一题_191111

时间：2019-11-09 19:59:44 阅读：69 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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$(15\text{年湖北卷理科})$ 如图,圆$C$与$x$轴相切于点$T(1,0)$,与$y$轴正半轴交于两点$A,B(B$在$A$的上方$)$,且$|AB|=2$.
$(1)$ 圆$C$的标准方程为$\underline{\qquad\qquad}$;
$(2)$ 过点$A$任作一条直线与圆$O:x^2+y^2=1$相交于$M,N$两点,下列三个结论:
① $\dfrac{|NA|}{|NB|}=\dfrac{|MA|}{|MB|};$
② $\dfrac{|NB|}{|NA|}-\dfrac{|MA|}{|MB|}=2;$
③ $\dfrac{|NB|}{|NA|}+\dfrac{|MA|}{|MB|}=2\sqrt{2};$
其中正确结论的序号是\underline{\qquad\qquad}(写出所有正确结论的序号).

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解析:
$(1)$ 由题可设圆$C$的标准方程为\[ (x-1)^2+(y-b)^2=b^2,b>0.\]
取$AB$中点$E$,连接$EC$,$AC$

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则有\[ 1^2+1^2=|EC|^2+|EA|^2=|AC|^2=b^2.\]所以$b=\sqrt2$.因此所求圆$C$的方程为\[(x-1)^2+(y-\sqrt{2})^2=2.\]
$(2)$ 法一结合$(1)$可知$A(0,\sqrt{2}-1)$,$B(0,\sqrt{2}+1)$,设$N(\cos\theta,\sin\theta)$,则
\[ \begin{split} \dfrac{|NA|}{|NB|} =&\sqrt{\dfrac{\cos^2\theta+\left(\sin\theta-\sqrt{2}+1\right)^2}{\cos^2\theta+\left(\sin\theta-\sqrt{2}-1\right)^2}}\ =&\sqrt{ \dfrac{\left(\sqrt{2}-\sin\theta\right)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-\sin\theta)(\sqrt{2}+1)}}\ =&\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1. \end{split} \]
同理可得\[ \dfrac{|MA|}{|MB|}=\sqrt{2}-1.\]因此结论 ①②③ 均正确.
法二结合阿波罗尼斯圆的知识可知$A,B$两点是关于圆$O$的一对反演点,且有
\[\dfrac{|NA|}{|NB|}=\dfrac{|MA|}{|MB|}=\sqrt{2}-1.\]因此结论 ①②③ 均正确.
法三结合$(1)$可知$A(0,\sqrt{2}-1)$,$B(0,\sqrt{2}+1)$.如图,连接$OM,ON$,

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由于\[\dfrac{|OA|}{|ON|}=\dfrac{|ON|}{|OB|}=\sqrt{2}-1.\]因此 $\triangle OAN\sim \triangle ONB $ ,于是\[ \angle OBN=\angle ONA=\angle OMA.\]于是 $\triangle ABN\sim \angle AMO$ ,所以\[ \dfrac{|NA|}{|NB|}=\dfrac{|OA|}{|OM|}=\sqrt{2}-1.\]
因此结论 ①②③ 均正确.

每日一题_191111

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Math521/p/11827319.html

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