图论 - 概念

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无序对：对于二元集合{a,b}，由于元素之间没有次序，称{a,b}为无序对，记为（a,b）。

有序对：由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对，记作<x，y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。

无序积：设A，B为集合，则称{（a,b）| a∈A∧b∈B}为A与B的无序积，记为A&B。 恒有A&B=B&A。

笛卡尔积：设A，B是任意两个集合，用A中元素作第一元素，B中元素作第二元素，构成的有序对，所有这样有序对的全体组成的集合称集合A和B的笛卡儿积，记作A×B。 

顶点集：非空集合V={v1，v2，…，vn}，称为图G的顶点集（vertexset）V中元素称为顶点。

无向边：是无序积V&V的一个多重子集E={e1，e2，…，en}，称为的边集（edge set），E中的元素称为无向边，简称边。 

无向图：一个无向图是一个有序的二元组<V，E>，记作G， 即G=<V，E>。每条边都是无向边的图称为无向图。

有向边： E为边集，是笛卡儿积V×V的多重子集，其元素称为有向边，简称边。

有向图：一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D， 即D=<V，E>。每条边都是有向边的图称为有向图。

基图：将有向图各有向边均改成无向边后得到的无向图 称为原来有向图的基图（underlying graph）。

端点：图G中的边e_k是V的两个元素v_i，v_j 的无序对（v_i，v_j），称v_i，v_j是ek的端点（end vertices）。

环：当v_i=v_j时，称e_k为环（loop）或自回路（selfcircuit）。

权：在一些具体问题中，图的每条边上标注了具有 特定含义的数值，该数值称为该边的权（weight）。

带权图：边上带权的图成为带权图（weighted graph）或 网（network）， 记为G=<V, E,W> 。

平行边：在无向图中， G的两个 顶点之间可能存在若干条不同的边， 称这些边为平行边或重边（multiple edges） 。 在有向图中，两个顶点间方向相同的若干条边称为平行边。 

重数：平行边的条数称为重数。 

对称边：两个顶点间方向相反的两条有向 边称为对称边（symmetricedges）。 

简单图：含平行边的图称为多重图 （multigraph） ，既不含平行边也不含环的图称为简单图（ simple graph） 。

顶点数：V表示G的顶点集，所以用|V|表示G的顶点数。

边数：E表示G的边集，所以用|E|表示G的边数。

阶数：即顶点数，相应阶数的图称为n阶图。

零图：若E=∅，则称G为零图（nullgraph）。 含有n个顶点的零图称为n阶零图，记作N_n。

平凡图：N₁为平凡图（trivialgraph）。

空图：规定V=∅的图为空图（emptygraph），并记为∅。

标定图：称顶点或边用字母标定的图为标定图（labeled graph），否则称为非标定图。

稠密图和稀疏图：边很少（如|E|<|V|log2|V|）的图称为稀疏图（sparse graph）；边很多的图称为稠密图（dense graph）。

关联：设e_k=（v_i,v_j） 为无向图G中的一条边，顶点v_i和 v_j为e_k的端点，称ek与v_i（或v_j） 是彼此关联的。

　　　若v_i≠v_j，则称e_k与v_i（或v_j） 的关联次数为1；

　　　若v_i=v_j，则称e_k与v_i的关联次 数为2；

　　　若v_i不是e_k的端点，则称e_k与v_i 的关联次数为0。

孤立点：无边关联的顶点称为孤立点 （isolatedvertex） 。

无向图

点的相邻：若∃e_t∈E且e_t=（v_i,v_j），则称v_i和v_j是相邻的。

边的相邻：若e_k,e_l∈E且有公共端点，则称e_k与e_l是相邻的。

有向图

点的邻接：若∃e_t∈E且e_t=<v_i,v_j>，则称vi邻接到v_j，v_j邻接于v_i。

边的相邻：若e_k,e_l∈E且e_k的终点为e_l的始点，则称e_k与e_l是相邻的。

度数：设G=<V，E>为一无向图，∀v∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度 （degree），记为d(v)。 

对于有向图，设D=<V,E>为有向图，∀v∈V， 

出度：称v作为边的起点的次数之和为v的出度(out-degree)， 记为d+(v) 

入度：称v作为边的终点的次数之和为v的入度(in-degree)， 记为d-(v) 

有向图的度数=出度+入度

悬挂顶点：称度数为1的顶点为悬挂顶点。

悬挂边：与它关联的边称为悬挂边。

偶（奇）度顶点：度为偶数（奇数）的顶点称为偶度（奇度）顶点。

在无向图G中，令

△(G)= max{d(v)|v∈V（G）}

δ(G)= min{d(v)|v∈V（G）}

称△(G)，δ(G)分别为G的最大度和最小度。

在有向图D中，可类似的定义最大度和最小度，此外令

△+(D)= max{d+(v)|v∈V（D）}

δ+(D)= min{d+(v)|v∈V（D）}

△-(D)= max{d-(v)|v∈V（D）}

δ-(D)= min{d-(v)|v∈V（D）}

分别称为D的最大出度,最小出度,最大入度,最小入度以上记号分别简记为△,δ,△+,δ+,△-,δ

度数列：设G=<V，E>是n阶无向图，V={v1， v2，…，vn}，称d(v1),d(v2),…,d(vn)为G的度数列。 同样可定义有向图的度数列、出度列和入度列。

可图化：对于给定的非负整数列 d=(d₁,d₂,…,d_n)，若存在以V={v₁,v₂, …,v_n}为顶点 集的n阶无向图G，使得d(vi)=d_i，则称d是可图化的。

特别地，若所得图是简单图，则称d是可简单图化的。

握手定理

无向图：度数之和=2*边数

有向图：度数之和=2*边数，出度之和=入度之和=边数

推论：任何图（无向的或有向的）中，奇度顶点的 个数是偶数。

可图化的充要条件：设非负整数列 d=(d1,d2,…, dn)，则d是可图化的当且仅当度数之和为偶数。

可简单图化的必要条件：设G是任意n 阶无向简单图，则△（G）≤n-1。（最小度数<=n-1）

图同构：由于顶点位置的不同，边的直、曲不同，同一个图可能画出不同的形状。 像这种形状不同，但本质上是同一个图的现象称为图同构。 

两图同构的必要条件：若两图同构， 则它们的阶数相同，边数相同，度列数相同等。 但反之不然。

无向完全图：设G是n阶无向简单图，若G中任何顶 点都与其余的n-1个顶点相邻，则称G为n阶无向完 全图（completegraph），记作Kn。 

有向完全图：设D为n阶有向简单图，若D中任意两个顶点u、v 之间既有有向边<u，v>，又有<v，u>，则称D是n阶有向完全图（completedigraph） 。

n阶竞赛图：设D为n阶有向简单图，若D的基图为n阶无向完 全图Kn，则称D是n阶竞赛图。

k-正则图： 设G是n阶 无向简单图，若对于任意的顶点 v∈V（G），均有d(v)=k，则称G为 k-正则图（k-regulargraph） 。 

子图：若V’⊆V且E’⊆E，则称G’是G的子图（subgraph）， G是G’的母图（supergraph），记作G’⊆G。

真子图：若V’⊂V或E’⊂E，则称G’是G的真子图（prope subgraph）。

生成图：若G’⊆G且V’=V，则称G’是G的生成子图或支撑子 图（spanningsubgraph）。

导出子图：设V’⊂V且V’≠∅，以V’为顶点集，以V’中的顶点 为端点的所有的边为边集的图显然为G的子图，该 子图称为以V’导出的导出子图（induced subgraph）， 记作G[V’]。 设E’⊂E且E’≠∅，以E’为边集，以E’中的边所关 联的所有的顶点为顶点集的G的子图，称为以E’导 出的导出子图，记作G[E’]。

补图：设G是n阶无向简单图，以V为 顶点集，以所有能使G成为完全图Kn的添加边组成的 集合为边集的图，称为G相对于完全图Kn的补图，简 称为G的补图，记作 。 若图G≌ ，则称G是自补图。 

二部图：设G是一个无向图，如果能 将V分成V1和V2（V1∪V2=V，V1∩V2=∅），使得G中 的每条边的两个端点都是一个属于V1，另一个属于V2， 则称G为二部图（二分图、偶图，bipartite graph）， 称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G记为 <V1,V2,E>。

简单二部图：又若G是简单二部图，V1中每个顶点均与V2中所有 顶点相邻，则称G为完全二部图，记为Kr,s，其中 r=|V1|，s=|V2|。

图论 - 概念

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