标签：html 莫比乌斯反演 list 要求 方便 个数 display lis 约数
在从基础数论函数说起1：整除分块、数论函数、狄利克雷卷积的最后，提到了 \(e=\mu * 1\) 。
也就是说，在狄利克雷卷积意义下， \(\mu\) 和 \(1\) 互为逆元。
那么如果要求 \(f(n)\) ，而 \(g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\) 其中的 \(g(n)\) 能够非常方便地求出。可以看做 \(g=f*1\) 。两边同乘 \(\mu\) ，得到 \(f=\mu * g\) 。即
\[ g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\,\,\Rightarrow\,\, f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(\frac{n}{d}) g(d) \]
这被称为 因数反演 。
同样的，还有 倍数反演 。
\[ g(n)=\sum\limits_{n|d} f(d) \,\,\Rightarrow\,\, f(n)=\sum\limits_{n|d} \mu(\frac{d}{n})g(d) \]
感觉不是很会正向推导。那就只能暴力证明一波了：
\[ \sum\limits_{n|d}\mu\left(\frac{n}{d}\right)g(d)=\sum\limits_{k}\mu(k)g(nk)=\sum\limits_{k}\mu(k)\left(\sum\limits_{nk|t}f(t)\right)=\sum\limits_{t}f(t)\left(\sum\limits_{nk|t}\mu(k)\right)=\sum\limits_{t}f(t)e\left(\frac{t}{n}\right)=f(n) \]
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原文地址：https://www.cnblogs.com/chy-2003/p/11837111.html
