切入点的分析 - 2019.11.13 素数统计

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题面

【问题描述】

小 tan 的老师揣谙戈给同学们布置了一道题，要求统计给定区间内素数的个数。“这不是很简单吗?”小 tan 忍不住说。揣谙戈冷笑 一下说:“等你们看到题目就知道了。”便转身离去。
果然，小 tan 被那极大的区间吓怕了，现在是你拯救她的时候。

【输入】

输入文件名为 pcount.in。

输入一行两个正整数 \(a\) 和 \(b\)，表示给定区间为 \([a,b]\)。

【输出】

输出文件名为 pcount.out。 输出一个整数，表示区间内素数数量。

【输入输出样例】

pcount.in
1 17 

pcount.out
7

【数据范围】

对于 \(30\%\) 的数据，有 \(n<m\le1000\);
对于 \(60\%\) 的数据，有 \(n<m\le1000000\);
对于 \(100\%\) 的数据，有 \(n<m<2^{31}\)，\(m-n\le1000000\)。

解

对于每个合数 \(c\)，必然存在一个 \(p\) 使得 \(p|c\) 且 \(p\le\sqrt{c}\).

想要筛 \([L,R]\) 中的素数，瓶颈在于 \(R\). 有了这个结论，可以只筛 \([1,\sqrt{R}]\) 的素数，并用这些素数筛 \([L,R]\) 中的数。

程序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
 
#define MAX_SQRT 66000
#define MAXN 1000000
#define MAXL 1000050
ll a, b, ps[MAXN];
bool isp[MAX_SQRT], ispr[MAXL];
int pt = 0;
 
void filt() {
    isp[1] = false;
    for (ll i = 2; i * i <= b; i++)
        isp[i] = true;
    for (ll i = 1; i * i <= b; i++) {
//      cout << i << endl;
        if (!isp[i]) continue;
//      cout << i << endl;
        ps[pt++] = i;
        for (ll j = i * i; j * j <= b; j += i)
            isp[j] = false;
    }
}
 
void isprset(ll i, bool v) {
    ispr[i - a] = v;
}
 
bool isprget(ll i) {
    return ispr[i - a];
}
 
int main() {
//  freopen("pcount.in", "r", stdin);
//  freopen("pcount.out", "w", stdout);
     
    cin >> a >> b;
    filt();
//  cout << "here" << endl;
//  for (int i = 0; i < pt; i++) cout << ps[i] << " ";
//  cout << endl;
    for (ll i = a; i <= b; i++)
        isprset(i, true);
         
    for (int i = 0; i < pt; i++) {
        int p = ps[i];
        for (ll j = max(a / p * p, 2ll * p); j <= b; j += p) {
            isprset(j, false);
        }
    }
     
    int ans = 0;
    for (ll i = max(a, 2ll); i <= b; i++)
        if (isprget(i)) {
            ans++;
//          cout << i << endl;
        }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

切入点的分析 - 2019.11.13 素数统计

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