标签：包含 思想 需要 time 变量 mes 前言 习惯 tar
- 从所求解的不等式入手，用\(“左-右”\)的形式作差构造得到新函数；
分析：作差构造函数，设\(F(x)=f(x)-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{1}{2}\)，则\(F′(x)=f′(x)-\cfrac{1}{2}\)，
因为\(f′(x)<\cfrac{1}{2}\)，所以\(F′(x)=f′(x)-\cfrac{1}{2}<0\)，即函数\(F(x)\)在\(R\)上为减函数，
这样原不等式\(f(x)<\cfrac{x}{2}+\cfrac{1}{2}\)，就等价转化为\(F(x)<0\)，
又由于\(F(1)=f(1)-\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}=0\)，[这一步完成了常数的函数化]
故\(F(x)<0\)可等价转化为\(F(x)<F(1)\)，由于在\(R\)上为减函数，
故得到\(x>1\)，即\(x\in (1，+\infty)\)。
解后反思：①题目中给定的定义域是在求解不等式时限制自变量整体用的；②给定的\(f(1)=1\)是为了完成常数的函数化准备的；③题目中给定的\(f′(x)<\cfrac{1}{2}\)是为了求导判断新函数的单调性准备的；④构造出新函数后，我们需要将原不等式转化为依托于新函数的不等式，若里面包含常数，则将常数函数化为形如\(f(M)<(\leqslant ，\geqslant )f(N)\)的形式；⑤要去掉对应法则\(f\)，则需要考虑定义域和单调性；
分析：作差构造函数，设\(F(x)=f(x)-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{1}{2}\)，则\(F′(x)=f′(x)-\cfrac{1}{2}\)，
因为\(f′(x)<\cfrac{1}{2}\)，所以\(F′(x)=f′(x)-\cfrac{1}{2}<0\)，即函数\(F(x)\)在\(R\)上为减函数，
这样原不等式\(f(x^2)<\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{1}{2}\)，就等价转化为\(F(x^2)<0\)，
又由于\(F(1)=f(1)-\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}=0\)，[这一步完成了常数的函数化]
故\(F(x^2)<0\)可等价转化为\(F(x^2)<F(1)\)，由于在\(R\)上为减函数，
故得到\(x^2>1\)，解得\(x<-1\)或\(x>1\)，即\(x\in(-\infty，-1)\cup(1，+\infty)\)，
解后反思：很显然，\(x\Leftrightarrow x^2\)
分析：我们先用整体思想将需要求解的不等式中的\(lnx\)理解为一个整体，这样原不等式就变形为\(f(t)>3t+1\)，
此时我们用\(左-右\)，做差构造新函数。【为什么这样构造？带着问题继续往下看】
令\(g(x)=f(x)-3x-1\)，于是\(g'(x)=f'(x)-3\)，由已知条件\(f'(x)<3\)，则可知\(g'(x)<0\)，
这样构造后我们能轻易知道这个函数的单调性，即函数\(g(x)\)在\(R\)上单调递减，
又\(g(1)=f(1)-3\times 1-1=f(1)-4=0\)，
到此我们就完全清楚了所构造的函数的性质，在\(R\)上单调递减，且有唯一的零点为\(x=1\)，
故由\(g(x)>0\)可以得到解为\(x<1\)，由\(g(x)<0=g(1)\)可以得到解为\(x>1\)，
现在\(f(lnx)>3lnx+1\)等价于\(g(lnx)>0\)，故得到\(lnx<1\)，
解得\(0<x<e\)，故解集为\((0，e)\)。
解后反思：本题目涉及构造函数的方法，是个难题；为什么这样的题目比较难？原因是平时我们习惯于被动利用题目所给的函数解题，而本题目需要我们主动构造函数，在数学的应用意识上有相当高的要求；在上例中我们发现，只有能充分利用题目所给的条件的构造才是有效的构造，那么我们自然就会问：
已知定义在实数集\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f'(x)<2\)，\(f(1)=1\)，\(f'(x)\)是\(f(x)\)的导函数，则不等式\(f(|log_2x|)>2|log_2x|-1\)的解集为______。
分析：完全仿照上述题目解法完成。
简解：令\(g(x)=f(x)-2x+1\)，则\(g'(x)=f'(x)-2<0\)，故函数\(g(x)\)在\(R\)上单调递减，
又\(g(1)=f(1)-2\times 1+1=0\)，故可知\(g(x)>0\)时的解集为\(\{x\mid x<1\}\)，
又由于原不等式\(f(|log_2x|)>2|log_2x|-1\)等价于\(g(|log_2x|)>0\)，
故先得到\(|log_2x|<1\)，即\(-1<log_2x<1\)，即\(log_2\cfrac{1}{2}<x<log_22\)，
解得\(\cfrac{1}{2}<x<2\)，故选\(D\)。
其余，待思考编辑
- 变形构造
标签：包含 思想 需要 time 变量 mes 前言 习惯 tar
原文地址：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11865664.html
