小波变换教程(十一)

小波变换的数学基础(一)

        这一节将会描述小波分析理论的主要概念，这些概念也可以被看成是大部分信号分析方法的准则。傅立叶定义的傅立叶变换是用一些基础函数来分析和重构一个函数。向量空间中的每一个向量都是向量基的线性组合，如把一些常数和向量相乘，然后计算点积。对信号的分析就包括估计这些常数（变换系数，傅立叶系数，小波系数等等）。合成或者说重构即计算线性组合方程。

        所有有关这个题目的定义和理论都可以在凯瑟的书中找到，《A Friendly Guide to Wavelets 》，他的书对学习小波有很好的指导作用，也可以作为理解在小波理论中这些基础函数是如何起作用的入门级读物。因此，这些信息会出现在本节中。

1、向量基

        注：所有的公式中包含了很多希腊字母。这些字母都明确的用他们的名字写出，如tau，psi，phi等等。对大写字母，第一个字母都是大写的，如Tau，Psi，Phi等等。附注中的字母都会有下划线_。次方符号用^来表示。还要知道，用黑体写出的这些字母或字母名称都是代表性的向量，一些重点也以黑体字表示。但是其意思必须在上下文中明确。

        向量空间V的基是一系列线性不相关向量，因为任何v都可以看作是向量基的线性组合。在一个空间中可能有超过一个向量基。但是，所有的空间都有相同的向量基数量，这个数量就是向量空间的维度。如二维空间的向量基有两个向量。

                                          式3.2

        式3.2显示了向量v是如何由向量基b_k和相应系数nuk线性组合而成的，用向量的形式给出的这个原理可以用一个公式来表示，只需要把b_k替换为phi_k(t)，把v替换为f(t)，式3.2就变成了：

                                                    式3.2a

        复指数函数（正弦和余弦）是傅立叶变换用到的基本公式，这些函数都是正交的，这些是进行重构必要的特性。

        设f(t)和g(t)是L^2[a,b]空间内的两个函数（L^2[a,b]表示在整数区间[a,b]平方可积的一系列函数）。两个函数的内积定义如下式：

                                                                    式3.3

        根据以上对内积的定义，连续小波变换可以被看成是测试信号与基本函数psi_(tau,s)(t)的内积：

                                                                                     式3.4

其中：

                                                          式3.5

        这个连续小波变换的定义说明了小波分析就是用来测量基本函数（即小波函数）与信号本身的相似性，这里的相似是指相似的频率分量。计算出来的连续小波变换系数说明了在当前尺度下原始信号与小波信号的近似程度。

        这一点更进一步的阐明了前面关于确定尺度下原始信号与小波的相关性讨论。如果在当前比例下，信号中含有一个主要的频率分量，那么小波（基本函数）将会与信号中该频率分量出现的地方很相似。因此，这一点处的连续小波变换的系数将会是一个很大的数字。