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每日一题_191120

时间:2019-11-16 14:33:21      阅读:65      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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边长为\(1\)的正方形\(ABCD\)的顶点\(A,D\)分别在\(x\)轴,\(y\)轴的正半轴上滑动,则\(\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}\)的最大值为\(\underline{\qquad\qquad}\).
解析:
如图,记\(E,F\)分别为\(AD,BC\)的中点,


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于是
\[ \begin{split} \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}&=\left(\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FB}\right)\ &=|OF|^2-|FB|^2\ &=|OF|^2-\dfrac{1}{4}\ &\leqslant\left(|OE|+|EF|\right)^2-\dfrac14\ &= 2. \end{split} \]
当且仅当\(E\)点位于\(OF\)线段上时,上述不等式取等,因此所求表达式的最大值为\(2\).

每日一题_191120

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原文地址:https://www.cnblogs.com/Math521/p/11871556.html

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