设是X由一组向量所张成，即：

如果线性独立，我们则称它们为空间中的一组基”。
那么信号x可以离散表示如下：

若是一组两两互相正交的向量，展式称为x的正交展开。分解系数是在各个基向量上的投影。

设向量和向量满足如下双正交关系：

那么，我们对原始信号就行投影变换（內积）：

看看，我们把最关心的分解系数给弄出来了！现在的问题是与原始基双正交的向量怎么求？

1.1 信号分解、对偶基（倒数基）、正交基

关于信号的分解表示，我们可以从连续时间和离散时间分开分析：

对于连续时间信号：

对于离散时间信号：

以上两式称为信号的变换。“变换”的结果即是求出一组系数。 

称为的“对偶基”，或“倒数基”。

双正交关系指的是两组基之间各对应向量之间具有正交性，但每一组向量之间并不一定具有正交关系。

N 维空间中的正交基：

如果一组基向量的对偶向量即是其自身，也那么这一组基向量构成了N 维空间中的正交基。

1.2 完备性/标架

若X空间中的任一元素x都可由一组向量作式 :

的分解，那么我们称这一组向量是“完备（complete）”的。

如果是完备的，且是线性相关的，那么，由表示x必然会存在信息的冗余，并且其对偶向量将 不会是唯一的。这时，我们称构成空间的一个“标架（frame）”。

 

若是完备的，且是线性无关的，则是X中的一组基向量，这时，存在且唯一，即存在

的双正交关系。则对偶及存在，且是唯一的。

对于正交关系，那么他的对偶基就是自己本身。

1.3 详细证明

将对偶基向量，用基向量表示：

将基向量与对偶基进行內积计算：

 

令：

    

这样，我们可以得到如下公式：

这样我们就可以通过基向量，求得他的对偶基向量。

2.思考

2.1为什么信号分解系数线性相关情况下，对偶基不唯一？

基向量现象相关，导致B矩阵是奇异矩阵，那么得到的“对偶基向量”必定不唯一。

2.2为什么信号分解系数双正交情况下，对偶基唯一？

单位阵I，那么此时的B是固定的唯一的，就是基向量的逆。

2.3为什么信号分解系数正交情况下，对偶基就是本身？

正交情况下，矩阵的逆就是矩阵的转置，那么就是自己本身，如此简单的运算，也正是正交变换在硬件领域很受欢迎的原因。因为对矩阵求转置的复杂度要远远低于逆运算。

2.4分解系数可以通过对偶基向量和原始信号的內积求得，这有什么物理意义？

通过上面公式，我们可以通过物理角度进行思考。所谓的投影运算也可以看成是相似性衡量问题。如果对偶基向量与原始信号越相似，分解系数应该越大！

 

原文见：http://m.blog.csdn.net/shenziheng1/article/details/60610724