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费马小定理

时间:2019-11-19 15:31:45      阅读:65      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:长度   了解   多次   整数   mat   根据   gcd   情况   质数   

费马小定理

定义

对于质数 \(p\),当 \(a\) 是一个与 \(p\) 互质的整数时有:
\[ a^{p-1}\equiv 1\quad (mod\; p) \]
当然也可以化成:
\[ a^p\equiv a\quad (mod\; p) \]

证明

数学归纳法

  1. \(a=0\) 时,显然成立。

  2. \(a^p\equiv a\quad (mod\;p)\) 成立时:
    \[ (a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+\dots+C^{p-1}_{p}a+1 \tag1 \]
    我们发现 \(p|C^{i}_{p}\;(i=1,2,\dots,p-1)\),证明如下:
    \[ C^{i}_{p} =\frac{p!}{(p-i)!\times i!} =\frac{p\times (p-1)\times (p-2) \times\dots\times(p-i+1)}{i\times(i- 1)\times\dots\times1} \]
    我们知道,对于 \(1\)\(i\) 的每一个数,在一个长度为 \(i\) 的连续数列中都能找到其整倍数。

    那么\(i,i-1,\dots ,1\)\(p,p-1,p-2,\dots,p-i+1\) 中就会一一对应一个整倍数,如果有重复,会有两种情况,1. 两数互质,那么两数会分别除掉这个整倍数不同的因数。2.不互质,这时我们可以将此数表示成 \(gcd\times x\) 的形式,两数的 \(x\) 互质,可以作为情况 \(1\) 考虑,而既然有 \(gcd\) 的几倍存在,\(gcd\) 这个因子一定出现了多次(次数和 \(gcd\) 的倍数个数一样),分别除即可。

    然而当 \(i\) 不等于 \(p\) 时,只有 \(1\) 能整除质数 \(p\) ,那么 \(C^{i}_{p}\) 就一定是 \(p\) 的倍数。

  3. 然后我们根据 \((1)\) 式可以得到:

    \[ (a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+\dots+C^{p-1}_{p}a+1 \equiv a^p+1\quad(mod\;p) \]

  4. 因为我们已知 \(a^p\equiv a\quad (mod\;p)\) 所以:
    \[ (a+1)^p\equiv a^p+1\equiv a+1\quad(mod\;p) \]

欧拉定理证明

还未了解欧拉定理的可以去本人博客查看。

  • 其实费马小定理就是欧拉定理的特殊情况

  • 已知欧拉定理 \(a^{\varphi(p)}\equiv 1\quad(mod\;p)\) ,当 \(p\) 是质数时, \(\varphi(p) =p-1\)

    证毕。

  • \(\frak by\quad \_thorn\)

费马小定理

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原文地址:https://www.cnblogs.com/thornblog/p/11889776.html

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