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欧拉定理及扩展

时间:2019-11-19 15:47:50      阅读:91      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:begin   tps   void   ++   char   strong   之间   algorithm   相加   

欧拉定理(EX及证明)

  • 本篇很多推论基于质数唯一分解定理,请读者先行了解。

欧拉函数

定义

有两种:

  1. 定义欧拉函数 \(\varphi(x)\) 表示小于 \(x\) 且与 \(x\) 互质的数的个数,定义 \(1\) 与任何数互质。

  2. 定义剩余类 \(c_i\)\(mod\;x=i\) 的数的集和,即所有 \(a\%x=i\)\(a\)。一般可以用其中的一个 \(a\) 代表。

    由于 \(gcd(a,x)=gcd(x,a\%x)\) ,所以剩余类中的数和 \(x\)\(gcd\) 都是一样的。这代表了只要剩余类中有一个数和 \(x\) 互质,这个剩余类中的所有数都与 \(x\) 互质。

    定义缩剩余类 是与 \(x\) 互质的数所在的剩余类。所有的缩剩余类组成缩系,一般可以从每个缩剩余类中选一个数来组成一个数列代表缩系。

    定义欧拉函数 \(\varphi(x)\)\(mod\;x\) 的缩剩余类个数。

性质

建议读者仔细品味欧拉函数的两个定义,下面的证明将从这两方面思考。

  1. 对于质数 \(p\) \(\varphi(p)=p-1\) 。显然成立。

  2. 对于质数 \(p\)\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)\(p^k\) 只与 \(p\) 的整数倍不互质。\(p^k\) 以内 一共有 \(\frac{p^k}{p}\)\(p\) 的倍数。

  3. 任意大于 \(2\) 的数 \(n\)\(\varphi(n)\) 是偶数。因为 \(gcd(n,x)=gcd(x,n-x)\) (不会可以在本人博客找到证明),所以与 \(n\) 互质的数都是成对出现的。

  4. 欧拉函数的积性 :(这个证法有点弱,有用 \(CRT\) 证明其通项再来证明这个的)

    对于互质的两个数 \(m\) , \(n\) ,有 \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)

    证明:

    将问题分成两个子问题

    \(x_i\)\(n\) 的一个缩剩余类,\(y_i\)\(m\) 的一个缩剩余类。

    1. 证明可以用 \(x_im+y_in\) 来表示 \(mn\) 的的一个缩剩余类,且不会重复。
    2. 证明 \(mn\) 的所有缩剩余类都可以用 \(x_im+y_in\) 表示。

    这样就可以证明积性

    下面来证明这些子问题:

    Ⅰ.

    \(first\) : 证明 \(x_im+y_in\)\(mn\) 的的一个缩剩余类
    \[ \because gcd(m,n)=1\\ \begin{align} gcd(x_i,n)=1\implies gcd(mx_i,n)=1\implies gcd(mx_i+ny_i,n)=1 \tag{更相减损} \gcd(y_i,m)=1\implies gcd(ny_i,m)=1\implies gcd(ny_i+mx_i,m)=1\\ \end{align}\\therefore gcd(ny_i+mx_i,mn)=1 \]
    证毕。

    \(second\) :证明\(x_im+y_in\) 不会重复表示一个缩剩余类

    反证法:
    \[ \bf 设 \mit x_km+y_kn \bf和\mit x_im+y_in\bf 在\varphi(mn)的同一个缩剩余类里\那么有:\mit x_km+y_kn\equiv x_im+y_in\quad(mod\;mn)\\implies x_km+y_kn\equiv x_im+y_in\quad(mod\;m)\\implies y_kn\equiv y_in\quad(mod\;m) \implies y_k=y_i\\bf 同理,x_k=x_i \]
    与假设矛盾,所以\(x_im+y_in\) 不会重复表示一个剩余类。

    Ⅱ.

    \(Z\)\(mn\) 的一个缩剩余类中的元素。
    \[ \begin{align} \exists\ x_0m+y_0n=1\tag{裴蜀定理} \end{align}\\implies Zx_0m+Zy_0n=Z\\implies mq+np=Z\implies \gcd(mq+np,mn)=1 \\\implies \gcd(mq+np,n)=1\implies \gcd(mq,n)=1\\because \gcd(m,n)=1\quad\therefore \gcd(q,n)=1 \]
    所以 \(q\)\(n\) 的缩剩余系中的元素,同理 \(p\)\(m\) 的缩剩余系中的元素。即所有的 \(mn\) 的缩剩余类都可以用\(x_im+y_in\) 表示。

  5. 欧拉函数的通向式:

    \(\varphi(m)=m(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots(1-\frac{1}{p_k})\) 其中 \(k\)\(m\) 的质因子。

    证明:

    根据唯一分解定理,我们知道任意数 \(m\) 可以表示为:\(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}\)

    由于 \(p\) 是质数, 所以\(\varphi(p_i^{a_i})=p_i^{a_i}-p_i^{a_i-1}=p_i^{a_i}(1-\frac{1}{p_i})\) (见条目 \(2.\))。而质因子的幂彼此互质,所以
    \[ \varphi(m)=\varphi(p_1^{a_1})\varphi(p_2^{a_2})\dots \varphi(p_k^{a_k})=m(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots(1-\frac{1}{p_k}) \]

  6. 小于 \(n\) 且与其互质的数之和为 \(\frac{\varphi(n)}{2}\times n\) 。由于 \(gcd\) 我们知道小于 \(n\) 且和 \(n\) 互质的数是成对出现的,且两两相加为 \(n\) 。于是易得。

  7. 欧拉反演(等我会了再补)

如何求欧拉函数

通项公式

欧拉定理

定义

对于互质的两数 \(a\)\(m\)
\[ a^{\varphi(m)}\equiv 1\quad(mod\;m) \]

证明

\(r_1,r_2,\dots,r_{\varphi(m)}\)\(m\) 的缩剩余系,由于 \(a\)\(m\) 互质,\(ar_1,ar_2,\dots,ar_{\varphi(m)}\) 也是 \(m\) 的缩剩余系。那么:
\[ r_1r_2\dots r_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}r_1r_2\dots r_{\varphi(m)}\quad(mod\;m) \\\implies a^{\varphi(m)} \equiv1\quad(mod\;m) \]
可以看出, \(m\) 是质数时 \(\varphi(m)=m-1\) ,即费马小定理。

代码

直接看拓欧吧。没有欧拉的板子。

扩展欧拉定理

定义

\[ a^{b}\equiv \begin{cases} a^{b\%\varphi(m)}\qquad\qquad\text{gcd(a,m)=1}\a^b\qquad\qquad\qquad\; \text{gcd(a,m)}\neq1 \quad \&\quad b\leq\varphi(m)\a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\qquad\text{gcd(a,m)}\neq1\quad \&\quad b>\varphi(m) \end{cases} \quad(mod\ m) \]

证明

首先,我们可以简化一下问题。

我们要证
\[ a^{b} \equiv a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\quad(mod\;m) \]
\(a\) 质因数分解,得:
\[ a^b=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\dots p_k^{r_k} \]
对于与 \(m\) 互质的 \(p_i\) ,显然有 \(p_i^{b}=p_i^{b\varphi(m)+\varphi(m)}\quad (mod\;p)\) (欧拉定理)。

那么只要证明了对于和 \(m\) 不互质的 \(p_i\) 也有此性质,就有:
\[ a^b=(p_1^{r_1}p_2^{r_2}\dots p_k^{r_k})^b=(p_1^{b})^{r_1}(p_2^{b})^{r_2}\dots (p_k^{b})^{r_k}\\quad\=(p_1^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)})^{r_1}(p_2^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)})^{r_2}\dots (p_k^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)})^{r_k}\\quad\=(p_1^{r_1}p_2^{r_2}\dots p_k^{r_k})^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\(mod\;m) \]

于是问题就简化成了求 \(m\) 的一个质因子 \(p\) 满足 \(p^b\equiv p^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\)

证明如下:

  1. \(m\) 分解成 \(p^ks\) ,由于 \(p\)\(s\) 互质。就有:

    \[ p^{\varphi(s)}\equiv 1\quad(mod\;s) \]

    又因为 \(a\equiv b \quad(mod\ s)\quad\&\quad c\equiv d\quad(mod\ s)\implies ac\equiv bd\quad(mod\ s)\) (想不通为什么可以从同余定义角度思考)。

    我们可以得出 \(p^{x\times\varphi(s)}\equiv 1\quad(mod\;s)\)

    又因为欧拉函数是积性函数,所以 \(\varphi(s)\mid\varphi(m)\)

    就可以得出 \(p^{\varphi(m)}\equiv 1\equiv p^{\varphi(s)} \quad(mod\;s)\)

  2. 继续推:

\[ p^{\varphi(s)}\equiv1\quad(mod\;s)\iff p^{\varphi(s)}=x\times s+1\\ \implies p^{\varphi(s)+k}=x\times s\times p^k+p^k \\ \implies p^{\varphi(s)+k}=xm+p^k\ \implies p^{\varphi(s)+k}\equiv p^k\quad(mod\;m) \]

? 又因为 \(p^{\varphi(m)}\equiv p^{\varphi(s)} \quad(mod\;m)\) ,所以 \(p^{\varphi(m)+k}\equiv p^k\quad(mod\;m)\)

  1. 由此可知有:
    \[ p^b\equiv p^{b-k}p^k\equiv p^{b-k+\varphi(m)+k}\equiv p^{b+\varphi(m)}\quad(mod\;m) \]

    条件是 \(b\geq k\)

    这时又有一个推论: 对于\(m=p^qs\) ,有\(\varphi(m)\geq q\)

    先单独考虑质因子 \(p^q\) ,即证明\(\varphi(p^q)=p^{q-1}(p-1)\geq q\) ,当 \(p=2\) 时为 \(p^{q-1}\geq q\)

    首先 \(q=2\) 时成立。然后对于 \(q> 2\) 的情况,我们假设 \(q-1\)\(2^{q-1}\geq q-1\) 成立:
    \[ 2^q=2\times 2^{q-1}\geq 2\times q-2 \]

? 由于 \(q>2\) 所以 \(2^q\geq q\) ,当且仅当 \(q=2\) 时取等。

? 又因为 \(p^{q-1}(q-1)\) 是个增函数,\(p\) 增大时就显然成立。

? 那么就有 \(b\geq k \geq \varphi(m)\) 。即函数成立条件为 \(b\geq \varphi(m)\)

  1. 我们要将 \(b\) 尽量变小,即减去尽量多的 \(\varphi(m)\) 。而上面的函数可表示为:

    \(p^{x}\equiv p^{x+\varphi(m)}\quad(mod\;m)\) ,那么将 \(x-\varphi(m)\) 代入 \(x\) 就有 \(p^{x-\varphi(m)}\equiv p^x\quad(mod\;p)\) 。注意这时定义域为 \(x-\varphi(m) \geq \varphi(m)\implies x\geq 2\varphi(m)\)

    我们不可能一个一个地减去 \(\varphi(m)\) 最好的做法时取模,然而这样不能保证 \(x\geq 2\varphi(m)\) ,于是我们要再加上一个 \(\varphi(m)\) 。即有 \(p^b\equiv p^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\quad(mod\;m) \qquad b\geq 2\varphi(m)\) 。当 \(b\)\(\varphi(m)\)\(2 \varphi(m)\) 之间时这么做也没有区别,我也不知道为什么要分在第三类中大概是好记

证毕

好长。

\(\bf code\)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef int int_;
#define int long long  

char bb[20000050];
int aa,m,bbb;
int phi,ans;

int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
    }
    else{
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
}

int getphi(int x){
    int ret=1;
    for(int i=2;i*i<=x && x!=1;i++){
        if(x%i != 0) continue;
        ret *=  i-1;
        x/=i;
        while(x%i==0){
            ret*=i;
            x/=i;
        }
    }
    if(x>1) ret*=x-1;
    return ret;
}

int ksm(int x,int q,int p){
    int ret=1;
    while(q>0){
        if(q&1) ret=(ret*x)%p;
        x=(x*x)%p;
        q>>=1;
    }
    return ret;
}

int_ main()
{
    bool flag=false;
    scanf("%lld %lld %s",&aa,&m,bb);
    phi=getphi(m);
    int len=strlen(bb);
    for(int i=0;i<len;i++){
        bbb=bbb*10+(int)(bb[i]-'0');
        if(bbb>=phi){
            bbb%=phi;
            flag=true;
        }
    }
    if(flag) ans=ksm(aa,bbb+phi,m);
    else ans=ksm(aa,bbb,m);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

这两篇博客对我写出这篇文章帮助很大。

——\(\frak by\;thorn\_\)

欧拉定理及扩展

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原文地址:https://www.cnblogs.com/thornblog/p/11889797.html

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