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前段时间刚看完c++语法部分的内容，现在开始着手研究下，用c++实现下一些基本的排序算法。
因为是初学者的缘故，可能理解之处还是存在不到位之处，但权且当作学习过程中的一种心得体会，也算记录下自己学习的路程吧。（理解的浅陋之处望及时指出）
所谓递归，就是方法自己调用自己，从而实现代码上的简化，同时也简化阅读人员的可读性。
递归的优势在于：当要求解一个问题时，在求解过程中，会碰到同样的处理过程。这个求解的过程就是递归的方法，不断递归的就是这个处理过程，而递归让这个问题逐渐变小，最终回到递归基上。
递归基：就是当问题足够简单时，或者已经不能再分解时，所能给出的返回结果，即为递归基。
这样说可能太抽象了，上例子了：
比如：我们求解n!(n的阶乘)，即1*2*3...n；
数学上： f(n) = n*f(n-1);（n>=2，n是自然数），这个式子有个好名叫递推公式
可以看出：f(n)和f(n-1)它们是同样的问题，所以处理过程一定是一样的，只是规模上的问题。
该问题的详细过程：
当要求得f(n)时，我们要知道f(n-1)，
求f(n-1)时，需求f(n-2)的值
...
最终要求f(1)的值，---------递归基的位置上
#include<iostream> int fun(int num); int main() { using namespace std; int num=5; cout << fun(num); return 0; } int fun(int num) { if(num==1) { return 1; } return num*fun(num-1); }
从上述代码可以看出，f(n)调用了f(n-1)的结果，同理f(n-1)会继续调用本身的方法，最终都会回归到递归基。
方法代码简化：
int fun(int num) { return num==1?1:num*fun(num-1); }
常谈的斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）
从递推公式中可以看出，它调用了自身，只是处理的规模变成了n-1和n-2；典型的递归式。
数列定义中可以看出递归基为：F(0)=0,F(1)=1；问题最终都会分解到递归基上。
上代码：
#include<iostream> int Fibonacci(int num); int main() { using namespace std; int num=5; cout << Fibonacci(num); return 0; } int Fibonacci(int num) { return num<=1?num:Fibonacci(num-1)+Fibonacci(num-2); }
程序还真是简单。
递归有个概略印象了，但程序并不是简洁就行了，还得运行起来快速。所以时间复杂度是必须考虑的,目前对空间复杂度方面暂时不考虑.
其运行图解如下图：
我们根据递推公式：T(n) = T(n-1)+T(n-2)
这是一个常系数的二阶线性齐次递推关系式，其求解方法就简单了：
得出其特征方程：
可以得到其解，呵呵，黄金分割数要出现了
(黄金分割数的相反数哦。。。。。。)
从而得出复杂度如下：
呵呵，我们平时只记个O(2^n)，其实它的时间复杂度是这样的，很奇怪吧。但确实如此，可见此算法不是个高效的算法，当n达到一定的值时，出结果的速度会长达很久很久，举个例子吧，若n取100吧，2GHz的处理器，1s钟能处理2g次，即2^31次，而1年相当于2^25次方，所以n取100时，需要 2^(100-25-31)
年，这得等多久啊。。。。。。。。。。
所以这不是一个合理的算法。。。。。。
分析上述高时间复杂度产生原因：有些已经计算过值，如F(5)，在计算F(6)时，它会调用F(5)，此时需重复计算F(5)的值，这样的多次的重复的计算，造就了如此高的时间复杂度。
若我们采取将这些计算过的值放在一个备忘表中，这样在下次调用中，直接从备忘表中取，我们可以瞬间降低时间开销。哈哈，是如此。
上述迭代是一种自上而下的算法，下面我们来看看自下而上的算法。
采用循环迭代的方法：
直接上代码：
#include<iostream> int Fibonacci(int num); int main() { using namespace std; int num=5; cout << Fibonacci(num); return 0; } int Fibonacci(int num) { int result=0; int sum=1; if(num<2) return num; int i=1; while(i<num) { sum += result; result = sum-result; i++; } return sum; }
图解:
从上可以看出，有时递归并不是一定是解决问题最好的办法，有时也许循环迭代倒是处理问题的好方法
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原文地址：http://www.cnblogs.com/qinghua0310/p/4060786.html
