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每日一题_191122

时间:2019-11-21 17:04:08      阅读:80      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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在平面四边形 \(ABCD\) 中,已知 \(\triangle ABC\) 的面积是 \(\triangle ACD\) 的面积的 \(3\) 倍,若存在正实数 \(x,y\),使得 \(\overrightarrow{AC}=\left(\dfrac{1}{x}-3\right)\overrightarrow{AB}+\left(1-\dfrac{1}{y}\right)\overrightarrow{AD}\) 成立,则\(x+y\)的最小值为\(\underline{\qquad\qquad}\).
解析:
如图,连接\(BD\)\(AC\)于点\(G\),分别过\(B,D\)\(AC\)的垂线,

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垂足分别为\(F,E\).由题易知\(BF:DE=3:1\),从而\(BG:DG=3:1\),所以\[ \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}.\]又因为\(\overrightarrow{AC}\)向量与\(\overrightarrow{AG}\)向量同向,因此\[ \left(\dfrac{1}{x}-3\right):\left(1-\dfrac{1}{y}\right)=1:3,\]即有\[ \dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{y}=10,x,y>0. \]
从而\[10=\dfrac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{x}+\dfrac{1}{y}\geqslant \dfrac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{x+y}.\]
所以\(x+y\geqslant \dfrac{\sqrt{3}+2}{5}\).等号当且仅当\[ (x,y)=\left(\dfrac{3+\sqrt{3}}{10},\dfrac{\sqrt{3}+1}{10}\right)\]时取得,因此,所求表达式的最小值为\(\dfrac{\sqrt{3}+2}{5}\).

每日一题_191122

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原文地址:https://www.cnblogs.com/Math521/p/11906375.html

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