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数据的表示与运算-浮点数

前言：

• 计算机中，数字分为定点数和浮点数。相对于浮点数，定点数比较好理解，原码补码反码移码。而浮点数十分繁杂。
• 关于浮点数的繁杂，我觉得最好的解释就是，\(William\ M. Kahan\)因其在浮点数运算标准的制定上的突出贡献而获得图灵奖。\(Kahan\)也是浮点数\(IEEE754\)标准的主要设计师。

初识浮点数：

• 假如说我们现在想要表示光速这样一个数值，我们可以怎么做？
  • \(1:\)采用整数方式把他写出来，那么就是\(300...00m/s\)。这样数字十分的长，与计算机不好保存。
  • \(2:\)采用科学计数法，那么就是\(3*10^{8}m/s\)，那么如果我现在想保存这个数字，那么我只需要记录三个信息，第一个是\(3\)，第二个是\(10\)，第三个是\(8\)。
• 两种方法比较：
  • 很明显第一种方法需要我们用更多的存储空间来保存它，而对于科学计数法，我们并不需要记录那么多的数却能表示同样的数值。
  • 对于计算机而言，只能认识\(0/1\)符号，这在硬件实现上更为方便简单。所以我们这时候可以把\(10\)这个底数给取消掉，计算机默认他是\(2\)，这样我们就可以只用保存两个数字，来表示这样一个大的数字。
  • 对于表示电子的质量，太阳系的直径，这样非常极端的数字时，科学计数法的优势显得更为明显。它更方便。
• 但我们也可以发现，如果说我要表示的数字不是\(300...000\)，而是\(29935...13\)这样的数字，而我科学计数法采用\(2.9*10^{8}\)，那么我势必丢掉一些精度。
• 在我的理解看来，浮点数的表示是用精度来换取表示范围。
• 所以这里我们似乎也能理解为什么在\(c\)语言中，\(double\)比\(float\)能表示更高的精度，因为\(double\)位数更高，他能表示更多的小数。
• 也能多少的理解浮点数为什么叫浮点数，因为随着我数字的指数不同，小数点的位置也在随之改变。

浮点数的表示：

• 通常，浮点数可以表示为：\(N=r^E*M\)。

  • 其中\(r\)是阶码的底，通常为\(2\)，且与尾数的基数相同。

  • \(E\)是阶码，\(M\)是尾数。

  • 如下所示：

  • 阶符	阶码的数值部分	数符	尾数的数值部分
    \(J_f\)	\(J_1J_2,...,J_m\)	\(S_f\)	\(S_1S_2,...,S_n\)

• 阶码是整数，阶符和阶码共同表示浮点数的表示范围以及小数点的实际位置；

• 数符表示正负，尾数的数值表示浮点数的精度。

浮点数规格化：

• 先看门见山讲一下什么叫规格化。

• 规格化规定尾数的最高数位必须是一个有效值。

• 通过以上的阅读，我们可以发现，要想让精度最大化，那么我们就需要让尾数部分尽可能的保存有效的数字。
• 比如说对于这两个数（二进制）
  • \(2^{10}*0.01\)和\(2^{01}*0.1\).
• 这两个数是相等的，但是第二个数明显可以在尾数上少保存一位\(0\)，所以这时候我们可以对浮点数进行规格化，让他能表示更高的精度。
• 所谓规格化，是指通过一定的操作改变浮点数的尾数和阶码的大小，让浮点数(非0)的尾数在最高位保证是一个有效值。
• 有如下两种方法：
  • 左规：当浮点数运算结果为非规格化时需要进行规格化处理，将尾数算术左移一位，并将阶码减一（二进制）。（左规可能需要进行多次）
  • 右规：当浮点数运算尾数出现溢出时，也就是双符号为出现了\(01/10\)，需要将尾数算术右移一位并将阶码加一。右规只进行一次。
• 那么规格化的浮点数的尾数的范围就是\(\frac{1}{2}\leq |M|\leq 1\)。
• 分析：
  • 假设用原码来表示尾数：
    • 正数：
      • 数的最大值是\(0.11...111\)，此时真值为\(1-2^{-n}\)。
      • 数的最小值时\(0.10...000\)，此时真值为\(\frac{1}{2}\)。
      • 绝对值的范围为\([\frac{1}{2},1-2^{-n}]\)。
    • 负数：
      • 数的最大值是\(1.10...00\)，此时真值为\(-\frac{1}{2}\)。
      • 数的最小值是\(1.11...11\)，此时真值为\(-(1-2^{-n})\)。
      • 绝对值的范围是\([\frac{1}{2},1-2^{-n}]\)。
  • 假设用补码来表示尾数：
    • 正数：
      • 正数的补码与原码相同，不做分析。
    • 负数：
      • 负数的最大值为\(1.011...1\)，最小值为\(1.00...0\)。
      • 绝对值得范围为\([\frac{1}{2}+2^{-n},1]\)。
      • 这里需要注意。尾数的最大值不是\(1.10...00\)这样的形式，因为\(1.10...000\)不是一个规格化数。
      • 这里我查了一些资料，有两种说法我比较认可，第一个是对于\(1.10000\)，我可以接着对他规格化到\(1.00000\)；第二个是方便机器的设计，对于原码，我可以判断他的尾数最高位是不是\(1\)来判断他是否规格化，对于补码，我可以判断他的数符和尾数最高位是否相同来判断他是否规格化。

IEEE754标准：

• 按照\(IEEE754\)标准，浮点数表示格式如下：

• 数符	阶码（用移码表示）	尾数（用原码表示，隐藏最高位\(1\)）
  \(m_s\)	\(E\)	\(M\)

• 为了最大幅度的增大浮点数表示精度，我们尾数最高位如果为\(1\)我们将其隐藏。举个例子，假如说尾数是\(1011\)，那么我们存储\(011\)。

• \(float\)和\(double\)都是满足\(IEEE754\)标准的浮点数。

• 阶码以移码形式存在。对于短浮点数\(float\)，偏置值为\(127\)，对于长浮点数\(double\)，偏置值为\(1023\)。

• 那么可以这么求：我先将\(E\)的看成补码形式求出其值，然后减去\(127/1023\)就是他的移码代表的值。

  • \((-1)^s*1.M*2^{E-127}\)（短浮点数）。
  • \((-1)^s*1.M*2^{E-1023}\)（长浮点数）。

浮点数的加减运算：

• 浮点数运算需要将阶码运算和尾数运算分隔开。且分成以下几步：

  • 对阶
  • 尾数加减
  • 规格化
  • 舍入
  • 判断溢出：阶码溢出

• 接下来一一分析。

• 对阶：

  • 对阶的目的是让两个操作数阶码相等。原则是小阶向大阶看齐的方法。将阶码小的数尾数右移，阶码加一知道阶码相等。当然因为右移需要舍弃数据，所以精度会受影响。

• 尾数加减：

  • 对阶后进行定点数加减运算。

• 规格化：

  • 按照上文所述的规格化进行左规或者右规。

• 舍入：

  • 在对阶和右规的过程中，可能会尾数低位丢失，引起误差，常见的舍入方法有：
    • \(1:\)\(0\)舍\(1\)入法：尾数右移的时候如果是\(0\)，就舍去；如果是\(1\)，就在尾数末尾\(+1\)，这样有可能让尾数溢出，需要进行一次右规。(假设那个尾数全是1，加上就会一直进位进位到溢出)。
    • \(2:\)恒置\(1\)法：尾数丢掉后不管是\(1\)还是\(0\)，补上\(1\)，这样可能会使尾数变大或者变小。

• 溢出判断：

  • 最后一步需要判断溢出。
  • 在浮点数规格化部分已经知道尾数双符号位出现\(01,10\)，并不表示溢出，将此数右规即可。
  • 浮点数的溢出是由阶码决定的。双符号阶码出现\(01/10\)，这时候就溢出了。
    • \(10:\)阶码小于最小阶码，按机器零处理。
    • \(01:\)阶码大于最大阶码，进入中断处理。

数据的表示与运算-浮点数

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