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矩阵，主要用于递推/\(dp\)优化，以及特别的题目。

运算：

注意，矩阵有\(+,-,*,pow\)以及矩阵的逆等运算。本文讨论入门的\(+,-,*,pow\).

对于加法：

\[ \left[ \begin{matrix} 1&3&5\\ 2&4&7\ \end{matrix} \right]+ \left[ \begin{matrix} 2&9&7\ 12&9&3\ \end{matrix} \right] \]
即为：
\[ \left[ \begin{matrix} 3&12&12\ 14&13&10\ \end{matrix} \right] \]
就是遵循按位相加的原则，减法同理。
注意矩阵的加减法必须是同行数同列数的矩阵。

对于乘法：

定义\(C_{i,j}\)是\(A,B\)两个矩阵乘完之后的矩阵对应的第\(i\)行第\(j\)列的元素。

规定\(A\)为\(P*M\)的矩阵，\(B\)为\(M*Q\)的矩阵。

则有:

\[C_{i,j}=\sum_{k=1}^{M}{A_{i,k}*B_{k,j}}\]

也可以简单理解为，对应行乘以对应列。

矩阵快速幂

就是一个矩阵的乘方。

注意，只有方阵才有乘方，即列数等于行数\((n*n)\)

同样地，若求一个矩阵的\(k\)次方，可以和二进制快速幂一样，重载乘法即可。

注意提到一个概念：矩阵中，和\(1\)一样的存在是谁呢?我们称之为 $单位矩阵 ，就是对角线上都是\(1\)，其它位置都是\(0\)的矩阵。

通过矩阵乘法定义会发现，一个矩阵乘以单位矩阵(称之为\(I\))等于它本身。

一个简单的单位矩阵：

\[ \left[ \begin{matrix} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1\ \end{matrix} \right] \]
代码实现：

struct matrix{
    ll a[4][4];
    matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
    matrix operator*(const matrix&b)const{
        matrix res;
        for(int i=1;i<=2;++i)
            for(int j=1;j<=2;++j)
                for(int k=1;k<=2;++k)
                    res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
        return res;
    }
}base,ans;
void qpow(int b){
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*base;
        base=base*base;b>>=1;
    }
}

待补\(QwQ\)

矩阵初步

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原文地址：https://www.cnblogs.com/h-lka/p/11913443.html