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群论基本概念

时间:2019-11-27 01:09:02      阅读:133      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:进一步   否则   for   笛卡尔   单位   加法   lin   sub   row   

代数系

定义:设S是一个非空集合,那么S与自身的笛卡尔积到S自身的映射就叫做S的结合法或运算 即:
\(S\times S\to S\)
\((a,b)\mapsto c\)
这时,S叫做代数系。换句话说,对于一个集合S,如果在这个集合上的某种运算是封闭的(\(\forall a,b\in S,f(a,b)\in S\)),那么就称S是这种运算的代数系。

代数系有时候也被称为广群,当一个广群满足某些条件的时候,便可以称作群
1.结合律
设S是具有一个运算的非空集合,如果对S中的任意元素a,b,c,在S上的运算都有:
(ab)c = a(bc)
则称该运算满足结合律。
2.单位元
设S是一个具有运算的非空集合,如果S中存在一个元素e;使得对S中的所有元素a都有:
ea = ae = a
则称该元素e为S中的单位元,通常记作e
3.可逆性
设S是一个具有运算并且有单位元的非空集合,设a是一个S中的元素,如果S中存在一个元素a‘使得:
aa‘ = a‘a = e
则称该元素a为S中可逆元,a‘称为a的逆元,通常记作\(a^{-1}\)
4.群的定义:
设G是一个具有运算的非空集合,称G为一个群,如果G上的运算满足下面三个条件:
(i)结合律,即对\(\forall a,b,c \in G\)都有:
(ab)c = a(bc)
(ii)单位元,即\(\exists e\)使得\(\forall a\in G\)都有:
ae = ea = a
(iii)可逆元,即\(\forall a \in G, \exists a'\in G\)使得:
aa‘ = a‘a =e
如果群G中的元素个数叫做群G的阶,记位|G|;当|G|为有限数的时,G叫做有限群,否则G叫做无限群。
换句话说,如果在集合G上的运算满足结合律,并且在该运算下G中存在单位元,并且G中的每个元素都有逆元,则称G是一个群。

证明:设S是一个具有运算的非空集合,则S中的单位元e是唯一的。
反证法,设e和e‘都是S中的单位元,则根据单位元的定义可知:
e‘ = ee‘ = e

因此群的单位元是唯一的
5.交换律
设S是一个具有运算的非空集合S,如果\(\forall a,b \in G\)都有:
ab = ba
则称该运算满足交换律。
如果群G中的运算还满足交换律,那么则称这个群是交换群或者阿贝尔(Abel)群。

群的性质

定理:设n是正整数,如果\(a_1 = a_2 = \dots= a_n = a\),则记\(a_1a_2\dots a_n = a^n\),称为 a 的 n 次幂;特别地,定义\(a^0=e\)为单位元,\(a^{-n} = (a^{-1})^n\)逆元\(a^{-1}\)的n次幂。
性质:设a是群G中的任意元素,则对任意的整数m, n, 有:
\(a^ma^n=a^{m+n}, (a^m)^n=a^{mn}\)

子群

定义:设H是群G的一个子集合,如果对于群G的运算,H成为一个群,那么H就叫做群G的子群,记作\(H\le G\)
Notation:H={e}和H=G都是群G的子群,叫做群G的平凡子群;群G的子群H叫做群G的真子群,如果H不是群G的平凡子群。

证明:\(H\)是群\(G\)的子群,则\(G\)的单位元也是\(H\)的单位元
\(e\)\(G\)的单位元,\(e‘\)\(H\)的单位元. \(a\in H, \forall b \in G\)则有:
\(e'b = e'eb = e'a^{-1}ab = aa^{-1}b = eb = b\)
同理可得:\(be'=b\)
根据单位元的定义可知,\(e’\)也是群\(G\)的单位元
\(\therefore' e'=e\),即群\(G\)的单位元也是群\(H\)的单位元

子群的判定定理:\(H\)是群\(G\)的一个非空子集,则H是群G的子群的充分必要条件是:
\(\forall a,b \in H, ab^{-1}\in H\)

证明:充分性
因为\(H\)\(G\)上的运算是相同的,所以不必再证明H上的运算的是否满足结合律
\(\because\)群G的单位元也是群H的单位元
\(\therefore e \in H\),即H有单位元
\(\because\)对于\(e\in H, \forall a\in H\)有,\(a^{-1}=ea^{-1}\in H\)(假设条件)
\(\therefore \forall a\in H, a^{-1}\in H\)即H中的每个元素都有逆元
所以\(H\)\(G\)的子群
必要性
\(H\)是一个群,则\(\forall b\in H, b^{-1}\in H\)
又由群的运算封闭性可知\(\forall a\in H, ab^{-1}\in H\)

陪集

陪集的定义:\(H\)是群\(G\)的子群,\(a\)\(G\)中任意元素,那么集合:
\(aH=\{ah|h\in H\}\)
叫做\(G\)\(H\)的左陪集(相似的,可以定义\(G\)\(H\)的右陪集\(Ha\)),\(aH\)中的元素叫做\(aH\)的代表元,如果\(aH=Ha\),则\(aH\)叫做\(G\)\(H\)的陪集
需要注意的是,在陪集定义中的\(ah\)是指\(a\)\(h\)在群\(G\)上定义的运算

实例:整数集合Z是一个对于加法运算构成一个群,设n>1,则H = nZ={n*k | k\(\in\)Z}是Z的子群,而子集:
\(a+H=\{ a+h|h\in H \}\)
\(H=nZ,\space h=k\cdot n,\space k\in Z\)
所以\(a+H = a+nZ=\{a+k\cdot n|k\in Z\}\)
就是nZ的陪集,这个陪集就是模n的剩余类

陪集的性质:\(H\)是群\(G\)的子群,则
i)对任意\(a\in G\),有:\(aH=\{ c|c\in G,a^{-1}c\in H \}\)
ii)对任意\(a\in H\),有\(aH=H=Ha\)
判断陪集相等:对任意\(a,b\in G,aH=bH\)的充要条件是\(b^{-1}a\in H\),相反的如果\(ab^{-1}\notin H\),则\(aH\ne bH\)

商集

商集的定义:设H是群G的子群,则H在G中不同左陪集组成的新集合
\(\{aH|a\in G\}\),叫做H在G中的商集,记作G/H,即\(G/H=\{ aH|a\in G \}\)
而G/H中不同左陪集的个数叫做H在G中的指标,记为[G:H]

商集指标的性质:设H是群G的子群,则|G|=[G:H]|H|
更进一步,如果\(K,H\)是群\(G\)的子群,且\(K\)\(H\)的子群,则
\([G:K]=[G:H][H:K]\),其中的每个指标都是有限的

拉格朗日推论:\(H\)是有限群\(G\)的子群,则子群的阶\(|H|\)是群\(G\)的阶\(|G|\)的因数

正规子群

定义:设N是群G的子群,称N为群G的正规子群,如果N满足:
i)对任意\(a\in G\),有\(aN=Na\)
ii)对任意\(a\in G\),有\(aNa^{-1}=N\)
iii)对任意\(a\in G\),有\(aNa^{-1}\subset N\),其中\(aNa^{-1}=\{ana^{-1}|n\in N\}\)

证明:上面三条性质实质上是相互等价的
\(i)\rightarrow ii)\)
\(\forall b\in aNa^{-1},\exists n\in N\)使得\(b=ana^{-1}\)
\(ba=ana^{-1}a=an\in aN=Na\)
\(\therefore \exists n'\in N\)使得\(ba=n'a\)
\(\therefore b=n'\in N\)
\(\therefore aNa^{-1} \subset N\)
\(\forall b\in N\),有\(ba\in Na=aN\)
\(\therefore\exists n\in N\)使得\(ba=an\)
\(baa^{-1}=ana^{-1}\therefore b=ana^{-1}\)
\(\therefore b\in aNa^{-1}\)
\(\therefore N\subset aNa^{-1}\)
综上所述\(aNa^{-1}=N\)
\(ii)\rightarrow i)\)
\(\forall b\in aN,\exists n\in N\)使得\(b=an\)
\(ba^{-1}=ana^{-1}\in aNa^{-1}=N\)
\(\exists n'\in N\)使得\(ba^{-1}=n'\)
\(\therefore ba^{-1}a=b=n'a\in Na\)
\(\therefore aN\subset Na\)
\(\forall b\in Na,\exists n\in N\)使得\(b=na\)
\(ba^{-1}=naa^{-1}=n\in N=aNa^{-1}\)
\(\therefore \exists n' \in N\)使得\(ba^{-1}=an'a^{-1}\)
\(即naa^{-1}=an'a^{-1}\)
\(\therefore na=an'\in aN\)
\(\therefore Na\subset aN\)
综上所述\(aN=Na\)
\(ii)\leftrightarrow iii)\)显然成立

正规子群的性质:设N是群G的正规子群,G/N是由N在G中的所有左陪集组成的集合,则对于运算(aN)(bN)=(ab)N,G/N构成一个群.

同态与同构

定义:\(G\)\(G'\)都是群,\(f\)\(G\)\(G’\)的一个映射,若\(\forall a,b\in G\)有:
\(f(ab)=f(a)f(b)\)
则称\(f\)\(G\)\(G'\)的一个同态
需要注意的是,同态可称作保持运算的映射:
\(f(\underbrace{ab}_{G中的运算})=\underbrace{f(a)f(b)}_{G'中的运算}\)
如果\(f\)是单射,则称\(f\)为单同态;如果\(f\)是满射,则称\(f\)是满同态;如果\(f\)是双射,则称\(f\)为同构。

如果群G和G‘之间存在一个同构映射,则称G和G‘是同构的,记为G$\cong \(G' 当G=G'的时候,同态\)f\(叫做自同态;同构\)f\(叫做自同构。 **同态的性质:** i)\)f(e) = e‘\(,即同态将单位元映射到单位元 >证明:即\)\forall a‘ \in G‘,a‘f(e)=a‘$
这里需要注意的是a‘不一定有原像
\(\because G\neq\emptyset\)
\(\therefore f(G)\neq\emptyset\)
则取\(b\in f(G),\exists b'\in G,f(b')=b\)
\(a'f(e)=a'b^{-1}bf(e)=a'b^{-1}f(b')f(e)=a'b^{-1}f(b'e)\)
\(=a'b^{-1}f(b')=a'b^{-1}b=a'\)

ii)\(\forall a \in G, f(a^{-1}) = f(a)^{-1}\),即同态将a的逆元映射到\(f(a)\)的逆元

证明:\(\because f(a^{-1})f(a)=f(a^{-1}a)=f(e)=e'\)
\(f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'\)
\(\therefore f(a^{-1})=(f(a))^{-1}\)(逆元的定义)

iii)\(f(G)= \{ f(a)|a\in G \}\)是G‘的子群,且f是满同态的充要条件是:f(G)=G‘

证明.
令x=f(a), y=f(b)\(\in\)f(G),则\(xy^{-1}=f(a)f(b)^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1})\)
由群的运算封闭性可知\(ab^{-1}\in G\),则\(f(ab^{-1})\in f(G)\)
\(xy^{-1}=f(ab^{-1})\in f(G)\)
所以f(G)是G‘的子群。
由满射的定义可知:f是满射的充要条件就是G‘=f(G)

核子群:\(kerf=\{ a | a\in G , f(a)=e' \}\)\(G\)的子群,并且\(f\)是单同态的充要条件是:\(kerf=\{e\}\)\(ker(f)\)便称为核子群

自然同态:\(f\)是群G到群G‘的同态,则\(ker(f)\)是G的正规子群,反过来,如果N是群G的正规子群,则映射:\(s:G\to G/N(a\mapsto aN)\)是ker(f)=N的同态,并且s被称为G到G/N的自然同态。

证明:\(\forall a\in G,b\in ker(f)\)有,
\(f(aba^{-1})=f(a)f(b)f(a^{-1})=f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'\)
\(\therefore aba^{-1}\in ker(f)\)
\(\therefore ker(f)\)是G的正规子群
反过来,设N是群G的正规子群,则G到G/N的映射s满足:
s(ab)=(ab)N=(aN)(bN)=s(a)s(b),并且s(a)=N(这里需要注意对于商群G/N来说,单位元就是N)的充要条件是a\(\in\)N,因此,s是核为N的同态。

同态分解(由一个同态映射得到一个同构映射):设f是群G到群G‘的同态,则存在唯一的G/ker(f)到群f(G)的同构映射\(f':aker(f)\mapsto f(a)\)

证明.
同态:
\(a,b\in G/ker(f)\)
\(\exists a',b'\in G\)使得\(a=a'ker(f),b=b'ker(f)\)
\(f'(ab)=f'(a'ker(f)\cdot b'ker(f))\)
\(\because ker(f)\)是G的正规子群
\(\therefore f'(a'ker(f)\cdot b'ker(f))=f'((a'b')ker(f))=f(a'b')\)
\(=f(a')f(b')=f'(a'ker(f))f'(b'ker(f))=f'(a)f'(b)\)
\(\therefore f'\)是同态
满射:
\(\forall b\in f(a), \exists a\in G,\)使得\(b=f(a)\)
设e‘是G‘中的单位元,则\(f(a)=f(a)e',\forall c\in ker(f),f(a)=f(a)f(c)=f(ac)\)
也就是说\(\forall b\in f(a)\),都可以写成\(f(ac)\)对于任意的\(c\in ker(f)\)
所以f(a)中的每个元素都在集合G/ker(f)有原像。
即f‘是满射。
假设\(\exists a\ne b\in G/ker(f)\),则\(\exists a',b'\in G\)
使得\(a=a'ker(f), b=b'ker(f)\)
\(f'(a'ker(f))=f(a'),f'(b'ker(f))=f(b')\)
\(\because a\ne b, a'ker(f)\ne b'ker(f)\)
\(\therefore\)由陪集相等的条件可知:\(a'b'^{-1}\notin ker(f)\)即:
\(f(a'b'^{-1})=f(a')f(b'^{-1})=f(a')f(b')^{-1}\ne e'\)
\(\therefore f(a')\ne f(b')\)
\(f'(a'ker(f))\ne f'(b'ker(f)), f'(a)\ne f'(b)\)

并且可以得到一个映射转换关系:\(f=i\cdot f'\cdot s\),其中s是群G到商群G/ker(f)的自然同态,\(i:c\mapsto c\)是f(G)到G‘的恒等映射。即:
\[G\stackrel{s}{\rightarrow}G/ker(f)\stackrel{f'}{\rightarrow}f(G)\stackrel{i}{\rightarrow}G'\stackrel{f}{\leftarrow}G\]

群论基本概念

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