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定义:设S是一个非空集合，那么S与自身的笛卡尔积到S自身的映射就叫做S的结合法或运算 即：
\(S\times S\to S\)
\((a,b)\mapsto c\)
这时，S叫做代数系。换句话说，对于一个集合S，如果在这个集合上的某种运算是封闭的(\(\forall a,b\in S,f(a,b)\in S\))，那么就称S是这种运算的代数系。
代数系有时候也被称为广群，当一个广群满足某些条件的时候，便可以称作群
1.结合律
设S是具有一个运算的非空集合，如果对S中的任意元素a,b,c，在S上的运算都有：
(ab)c = a(bc)
则称该运算满足结合律。
2.单位元
设S是一个具有运算的非空集合，如果S中存在一个元素e；使得对S中的所有元素a都有：
ea = ae = a
则称该元素e为S中的单位元，通常记作e
3.可逆性
设S是一个具有运算并且有单位元的非空集合，设a是一个S中的元素，如果S中存在一个元素a‘使得:
aa‘ = a‘a = e
则称该元素a为S中可逆元，a‘称为a的逆元，通常记作\(a^{-1}\)
4.群的定义：
设G是一个具有运算的非空集合，称G为一个群，如果G上的运算满足下面三个条件：
(i)结合律，即对\(\forall a,b,c \in G\)都有：
(ab)c = a(bc)
(ii)单位元，即\(\exists e\)使得\(\forall a\in G\)都有：
ae = ea = a
(iii)可逆元，即\(\forall a \in G, \exists a'\in G\)使得：
aa‘ = a‘a =e
如果群G中的元素个数叫做群G的阶，记位|G|；当|G|为有限数的时，G叫做有限群，否则G叫做无限群。
换句话说，如果在集合G上的运算满足结合律，并且在该运算下G中存在单位元，并且G中的每个元素都有逆元，则称G是一个群。
证明：设S是一个具有运算的非空集合，则S中的单位元e是唯一的。
反证法，设e和e‘都是S中的单位元，则根据单位元的定义可知：
e‘ = ee‘ = e
因此群的单位元是唯一的
5.交换律
设S是一个具有运算的非空集合S，如果\(\forall a,b \in G\)都有：
ab = ba
则称该运算满足交换律。
如果群G中的运算还满足交换律，那么则称这个群是交换群或者阿贝尔(Abel)群。
定理：设n是正整数，如果\(a_1 = a_2 = \dots= a_n = a\)，则记\(a_1a_2\dots a_n = a^n\)，称为 a 的 n 次幂；特别地，定义\(a^0=e\)为单位元，\(a^{-n} = (a^{-1})^n\)逆元\(a^{-1}\)的n次幂。
性质：设a是群G中的任意元素，则对任意的整数m, n, 有:
\(a^ma^n=a^{m+n}, (a^m)^n=a^{mn}\)
定义:设H是群G的一个子集合，如果对于群G的运算，H成为一个群，那么H就叫做群G的子群，记作\(H\le G\)
Notation:H={e}和H=G都是群G的子群，叫做群G的平凡子群；群G的子群H叫做群G的真子群，如果H不是群G的平凡子群。
证明：\(H\)是群\(G\)的子群，则\(G\)的单位元也是\(H\)的单位元
设 \(e\)是\(G\)的单位元，\(e‘\)是\(H\)的单位元. \(a\in H, \forall b \in G\)则有：
\(e'b = e'eb = e'a^{-1}ab = aa^{-1}b = eb = b\)
同理可得:\(be'=b\)
根据单位元的定义可知，\(e’\)也是群\(G\)的单位元
\(\therefore' e'=e\)，即群\(G\)的单位元也是群\(H\)的单位元
子群的判定定理:设\(H\)是群\(G\)的一个非空子集，则H是群G的子群的充分必要条件是：
\(\forall a,b \in H, ab^{-1}\in H\)
证明：充分性
因为\(H\)和\(G\)上的运算是相同的，所以不必再证明H上的运算的是否满足结合律
\(\because\)群G的单位元也是群H的单位元
\(\therefore e \in H\)，即H有单位元
又\(\because\)对于\(e\in H, \forall a\in H\)有，\(a^{-1}=ea^{-1}\in H\)(假设条件)
\(\therefore \forall a\in H, a^{-1}\in H\)即H中的每个元素都有逆元
所以\(H\)是\(G\)的子群
必要性
若\(H\)是一个群，则\(\forall b\in H, b^{-1}\in H\)
又由群的运算封闭性可知\(\forall a\in H, ab^{-1}\in H\)
陪集的定义:设\(H\)是群\(G\)的子群，\(a\)是\(G\)中任意元素，那么集合：
\(aH=\{ah|h\in H\}\)
叫做\(G\)中\(H\)的左陪集(相似的，可以定义\(G\)中\(H\)的右陪集\(Ha\))，\(aH\)中的元素叫做\(aH\)的代表元，如果\(aH=Ha\)，则\(aH\)叫做\(G\)中\(H\)的陪集
需要注意的是，在陪集定义中的\(ah\)是指\(a\)和\(h\)在群\(G\)上定义的运算
实例：整数集合Z是一个对于加法运算构成一个群，设n>1，则H = nZ={n*k | k\(\in\)Z}是Z的子群，而子集：
\(a+H=\{ a+h|h\in H \}\)
而\(H=nZ,\space h=k\cdot n,\space k\in Z\)
所以\(a+H = a+nZ=\{a+k\cdot n|k\in Z\}\)
就是nZ的陪集，这个陪集就是模n的剩余类
陪集的性质:设\(H\)是群\(G\)的子群，则
i)对任意\(a\in G\)，有：\(aH=\{ c|c\in G,a^{-1}c\in H \}\)，
ii)对任意\(a\in H\)，有\(aH=H=Ha\)
判断陪集相等:对任意\(a,b\in G,aH=bH\)的充要条件是\(b^{-1}a\in H\)，相反的如果\(ab^{-1}\notin H\)，则\(aH\ne bH\)。
商集的定义:设H是群G的子群，则H在G中不同左陪集组成的新集合
\(\{aH|a\in G\}\)，叫做H在G中的商集，记作G/H,即\(G/H=\{ aH|a\in G \}\)
而G/H中不同左陪集的个数叫做H在G中的指标，记为[G:H]
商集指标的性质:设H是群G的子群，则|G|=[G:H]|H|
更进一步，如果\(K,H\)是群\(G\)的子群，且\(K\)是\(H\)的子群，则
\([G:K]=[G:H][H:K]\)，其中的每个指标都是有限的
拉格朗日推论:设\(H\)是有限群\(G\)的子群，则子群的阶\(|H|\)是群\(G\)的阶\(|G|\)的因数
定义:设N是群G的子群，称N为群G的正规子群，如果N满足：
i)对任意\(a\in G\)，有\(aN=Na\)
ii)对任意\(a\in G\)，有\(aNa^{-1}=N\)
iii)对任意\(a\in G\)，有\(aNa^{-1}\subset N\)，其中\(aNa^{-1}=\{ana^{-1}|n\in N\}\)
证明：上面三条性质实质上是相互等价的
\(i)\rightarrow ii)\)
\(\forall b\in aNa^{-1},\exists n\in N\)使得\(b=ana^{-1}\)
\(ba=ana^{-1}a=an\in aN=Na\)
\(\therefore \exists n'\in N\)使得\(ba=n'a\)
\(\therefore b=n'\in N\)
\(\therefore aNa^{-1} \subset N\)
又\(\forall b\in N\)，有\(ba\in Na=aN\)
\(\therefore\exists n\in N\)使得\(ba=an\)
则\(baa^{-1}=ana^{-1}\therefore b=ana^{-1}\)
\(\therefore b\in aNa^{-1}\)
\(\therefore N\subset aNa^{-1}\)
综上所述\(aNa^{-1}=N\)
\(ii)\rightarrow i)\)
\(\forall b\in aN,\exists n\in N\)使得\(b=an\)
则\(ba^{-1}=ana^{-1}\in aNa^{-1}=N\)
即\(\exists n'\in N\)使得\(ba^{-1}=n'\)
\(\therefore ba^{-1}a=b=n'a\in Na\)
\(\therefore aN\subset Na\)
又\(\forall b\in Na,\exists n\in N\)使得\(b=na\)
\(ba^{-1}=naa^{-1}=n\in N=aNa^{-1}\)
\(\therefore \exists n' \in N\)使得\(ba^{-1}=an'a^{-1}\)
\(即naa^{-1}=an'a^{-1}\)
\(\therefore na=an'\in aN\)
\(\therefore Na\subset aN\)
综上所述\(aN=Na\)
\(ii)\leftrightarrow iii)\)显然成立
正规子群的性质:设N是群G的正规子群，G/N是由N在G中的所有左陪集组成的集合，则对于运算(aN)(bN)=(ab)N，G/N构成一个群.
定义:设\(G\)和\(G'\)都是群，\(f\)是\(G\)到\(G’\)的一个映射，若\(\forall a,b\in G\)有：
\(f(ab)=f(a)f(b)\)
则称\(f\)是\(G\)到\(G'\)的一个同态
需要注意的是，同态可称作保持运算的映射：
\(f(\underbrace{ab}_{G中的运算})=\underbrace{f(a)f(b)}_{G'中的运算}\)
如果\(f\)是单射，则称\(f\)为单同态；如果\(f\)是满射，则称\(f\)是满同态；如果\(f\)是双射，则称\(f\)为同构。
如果群G和G‘之间存在一个同构映射，则称G和G‘是同构的，记为G$\cong \(G' 当G=G'的时候，同态\)f\(叫做自同态；同构\)f\(叫做自同构。 **同态的性质：** i)\)f(e) = e‘\(，即同态将单位元映射到单位元 >证明：即\)\forall a‘ \in G‘,a‘f(e)=a‘$
这里需要注意的是a‘不一定有原像
\(\because G\neq\emptyset\)
\(\therefore f(G)\neq\emptyset\)
则取\(b\in f(G),\exists b'\in G,f(b')=b\)
\(a'f(e)=a'b^{-1}bf(e)=a'b^{-1}f(b')f(e)=a'b^{-1}f(b'e)\)
\(=a'b^{-1}f(b')=a'b^{-1}b=a'\)
ii)\(\forall a \in G, f(a^{-1}) = f(a)^{-1}\)，即同态将a的逆元映射到\(f(a)\)的逆元
证明：\(\because f(a^{-1})f(a)=f(a^{-1}a)=f(e)=e'\)
\(f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'\)
\(\therefore f(a^{-1})=(f(a))^{-1}\)（逆元的定义）
iii)\(f(G)= \{ f(a)|a\in G \}\)是G‘的子群，且f是满同态的充要条件是：f(G)=G‘
证明.
令x=f(a), y=f(b)\(\in\)f(G)，则\(xy^{-1}=f(a)f(b)^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1})\)
由群的运算封闭性可知\(ab^{-1}\in G\)，则\(f(ab^{-1})\in f(G)\)
即\(xy^{-1}=f(ab^{-1})\in f(G)\)
所以f(G)是G‘的子群。
由满射的定义可知：f是满射的充要条件就是G‘=f(G)
核子群：\(kerf=\{ a | a\in G , f(a)=e' \}\)是\(G\)的子群，并且\(f\)是单同态的充要条件是：\(kerf=\{e\}\)，\(ker(f)\)便称为核子群
自然同态：设\(f\)是群G到群G‘的同态，则\(ker(f)\)是G的正规子群，反过来，如果N是群G的正规子群，则映射：\(s:G\to G/N(a\mapsto aN)\)是ker(f)=N的同态，并且s被称为G到G/N的自然同态。
证明：\(\forall a\in G,b\in ker(f)\)有，
\(f(aba^{-1})=f(a)f(b)f(a^{-1})=f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'\)
\(\therefore aba^{-1}\in ker(f)\)
\(\therefore ker(f)\)是G的正规子群
反过来，设N是群G的正规子群，则G到G/N的映射s满足：
s(ab)=(ab)N=(aN)(bN)=s(a)s(b)，并且s(a)=N（这里需要注意对于商群G/N来说，单位元就是N）的充要条件是a\(\in\)N，因此，s是核为N的同态。
同态分解（由一个同态映射得到一个同构映射）：设f是群G到群G‘的同态，则存在唯一的G/ker(f)到群f(G)的同构映射\(f':aker(f)\mapsto f(a)\)。
证明.
同态:
设\(a,b\in G/ker(f)\)
则\(\exists a',b'\in G\)使得\(a=a'ker(f),b=b'ker(f)\)
\(f'(ab)=f'(a'ker(f)\cdot b'ker(f))\)
\(\because ker(f)\)是G的正规子群
\(\therefore f'(a'ker(f)\cdot b'ker(f))=f'((a'b')ker(f))=f(a'b')\)
\(=f(a')f(b')=f'(a'ker(f))f'(b'ker(f))=f'(a)f'(b)\)
\(\therefore f'\)是同态
满射:
\(\forall b\in f(a), \exists a\in G,\)使得\(b=f(a)\)。
设e‘是G‘中的单位元，则\(f(a)=f(a)e',\forall c\in ker(f),f(a)=f(a)f(c)=f(ac)\)
也就是说\(\forall b\in f(a)\)，都可以写成\(f(ac)\)对于任意的\(c\in ker(f)\)
所以f(a)中的每个元素都在集合G/ker(f)有原像。
即f‘是满射。
假设\(\exists a\ne b\in G/ker(f)\)，则\(\exists a',b'\in G\)
使得\(a=a'ker(f), b=b'ker(f)\)
而\(f'(a'ker(f))=f(a'),f'(b'ker(f))=f(b')\)
\(\because a\ne b, a'ker(f)\ne b'ker(f)\)
\(\therefore\)由陪集相等的条件可知:\(a'b'^{-1}\notin ker(f)\)即：
\(f(a'b'^{-1})=f(a')f(b'^{-1})=f(a')f(b')^{-1}\ne e'\)
\(\therefore f(a')\ne f(b')\)
即\(f'(a'ker(f))\ne f'(b'ker(f)), f'(a)\ne f'(b)\)
并且可以得到一个映射转换关系：\(f=i\cdot f'\cdot s\)，其中s是群G到商群G/ker(f)的自然同态，\(i:c\mapsto c\)是f(G)到G‘的恒等映射。即：
\[G\stackrel{s}{\rightarrow}G/ker(f)\stackrel{f'}{\rightarrow}f(G)\stackrel{i}{\rightarrow}G'\stackrel{f}{\leftarrow}G\]
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