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数论------欧拉函数

时间:2019-12-01 00:29:24      阅读:156      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:ace   因子   定义   none   names   int   pen   hdu   ret   

 

 

定义:  

  F(n)其的值为    x在区间【1,n-1】中满足gcd(x,n)等于1的x的数量   (即x与n互质的数目)

 

求值:

  先对n‘进行唯一分解,取出所有质因数  F(n)=n*(1-1/P1)*(1-1/P2)......   *   (1-1/Pn)  

 

唯一分解定理

   任何一个整数n都可以写成        n = P1E1    *    P2E2      ...      *   PNE    (其中p为质数,e为指数

 

 

 


 

 

/*
性质:
        1.假设n为素数,则F(n)=n-1
        2.假设m,n互质,则F(n*m)=F(n)*F(m)     (则也是积性函数的性质,特别重要)
        3.假设n为奇数,则F(2*n)=F(n)        证明很简单,2与n互质,且F(2)=1,即:F(2*n)=F(n)*F(2)=F(n) 
        4.只有F(2)=1,其他F(n)的值都是偶数
        5.一个数的所有质因子之和::(F(n)*n/2) 
        6.aF(n)%n=1(%n)    (a,n互质)----->欧拉定理
            对于性质6,当n为质数的时候,就变成了费马小定理了    an-1%n=1(%n) 

*/ 

 

 

技术图片
 1 typedef long long ll;
 2 ll euler(int n){
 3     ll ans=1;
 4     for (ll i=2;i*i<=n;i++){
 5         if (n%i==0){     
 6             ans*=(i-1);   //因为欧拉函数也是积性函数 
 7             n/=i;
 8             while (n%i==0){
 9                 n/=i;
10                 ans*=i;
11             }
12         }
13     }
14     if (n>1)    ans*=(n-1);
15     return ans;
16 }
代码实现部分

 

 

贴题:

 

 

hdu1286(模板题)

 

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 int eulor(int n){
 5     int sum=1;
 6     for (int i=2;i*i<=n;i++){ 
 7         if (n%i==0){
 8             n/=i;
 9             sum*=(i-1);
10             while (n%i==0){
11                 n/=i;
12                 sum*=i;    
13             }
14         }
15     }
16     if (n>1)    sum*=(n-1);
17     return sum;
18 }
19 int main(){
20     int t;
21     cin>>t;
22     while(t--){
23         int n;
24         cin>>n;
25         cout<<eulor(n)<<endl;
26     }
27     return 0;
28 }

 

 

 

hdu2588

 

 1 #include<iostream>
 2 typedef long long ll;
 3 using namespace std;
 4 ll euler(int n){
 5     ll ans=1;
 6     for (ll i=2;i*i<=n;i++){
 7         if (n%i==0){     
 8             ans*=(i-1);   
 9             n/=i;
10             while (n%i==0){
11                 n/=i;
12                 ans*=i;
13             }
14         }
15     }
16     if (n>1)    ans*=(n-1);
17     return ans;
18 }
19 int main(){
20     int t;
21     cin>>t;
22     while (t--){
23         ll n,m,ans=0,i;
24         cin>>n>>m;
25         for (i=1;i*i<=n;i++){
26             if (n%i==0){
27                 if (i>=m)
28                     ans+=euler(n/i);
29                 if (n/i>=m) 
30                     ans+=euler(i);
31             }
32         }
33         if (i>m&&(i-1)*(i-1)==n)    ans-=euler(i-1);
34         cout<<ans<<endl;
35     }
36     
37     return 0;
38 }

 

 

 

 

 

数论------欧拉函数

标签:ace   因子   定义   none   names   int   pen   hdu   ret   

原文地址:https://www.cnblogs.com/q1204675546/p/11964519.html

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